几何平均数和算术平均数的大小的公式推导证明:1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:50:46
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几何平均数和算术平均数的大小的公式推导证明:1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
几何平均数和算术平均数的大小的公式推导
证明:1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
几何平均数和算术平均数的大小的公式推导证明:1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
(1)n=2时:设a1,a2为实数,
有(a1-a2)²≥0,(当a1=a2时,等号成立)
a1²-2a1a2+a2²≥0,
a1²+a2²≥2a1a2,
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2,
(a1+a2)²/4≥a1a2,
∴(a1+a2)/2≥√a1a2.
(2)设n=k时成立:
(a1+a2+.+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方)
(3)当n=k+1时:
把ak换成a(n-1)+an,
下面仍然成立.
一般地:(a1+a2+...+an)/n=a1a2..an(开n次方).
算术平均数大于等于几何平均数.
(a1-a2-a3-···-an)的平方=a1的平方+a2的平方+···+an的平方-ai*aj(i,j=(1~n);
ai*aj(i,j=(1~n)≥n*(a1*a2*a3*···*an);所以有 a1的平方+a2的平方+···+an的平方≥n*(a1*a2*a3*···*an);所以就可以证明:1/n(a1+a2+.....+an)≥(a1a2a3....an)开n次方
,
有(a1-a2)²≥0,(当a1=a2时,等号成立)
a1²-2a1a2+a2²≥0,
a1²+a2²≥2a1a2,
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2,
(a1+a2)²/4≥a1a2,
∴(a1+a2)/2≥√a1a2。
(2)设n=k时成立:
全部展开
,
有(a1-a2)²≥0,(当a1=a2时,等号成立)
a1²-2a1a2+a2²≥0,
a1²+a2²≥2a1a2,
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2,
(a1+a2)²/4≥a1a2,
∴(a1+a2)/2≥√a1a2。
(2)设n=k时成立:
(a1+a2+。。+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方)
(3)当n=k+1时:
把ak换成a(n-1)+an,
下面仍然成立。
一般地:(a1+a2+...+an)/n=a1a2.。。an(开n次方
收起
楼上的回答已经很详尽了~