已知数列An+1=An+3n+1,A1=1,求An的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 04:14:08
已知数列An+1=An+3n+1,A1=1,求An的通项公式
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已知数列An+1=An+3n+1,A1=1,求An的通项公式
已知数列An+1=An+3n+1,A1=1,求An的通项公式

已知数列An+1=An+3n+1,A1=1,求An的通项公式
a(n+1)=a(n)+3n+1 = a(n) + (3/2)[n(n+1)-(n-1)n] + [(n+1)-n],
a(n+1) - 3n(n+1)/2 - (n+1) = a(n) - 3(n-1)n/2 - n,
{a(n)-3(n-1)n/2 - n}是首项为a(1)-0-1=0的常数数列.
a(n)-3(n-1)n/2 - n = 0,
a(n) = 3(n-1)n/2 + n
=n(3n-1)/2

由已知得
a1=1 ,
a2-a1=4 ,
a3-a2=7 ,
a4-a3=10 ,
。。。。。
an-a(n-1)=3n-2 ,
将以上 n 个等式左右两边分别相加,得 an=1+4+7+.....+(3n-2)=n(3n-1)/2 。

待定系数法:
设A(n+1)+a(n+1)^2+b(n+1)=An+an^2+bn
化为:A(n+1)=An-2an-a-b
对比已知条件得:-2a=3, -a-b=1,
解得:a=-1.5, b=0.5
故有{An-1.5n^2+0.5n}为常数数列,首项为A1-1.5+0.5=A1-1=0
因此有An=1.5n^2-0.5n