证明抽样分布中的一个定理xi为取自总体x∽N(u,σ2) 的样本,S2为样本方差,证明(n-1)S2/σ2服从卡方分布X2 (n-1),关键是要说明为什么自由度的n-1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 11:34:39
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证明抽样分布中的一个定理xi为取自总体x∽N(u,σ2) 的样本,S2为样本方差,证明(n-1)S2/σ2服从卡方分布X2 (n-1),关键是要说明为什么自由度的n-1
证明抽样分布中的一个定理
xi为取自总体x∽N(u,σ2) 的样本,S2为样本方差,
证明(n-1)S2/σ2服从卡方分布X2 (n-1),关键是要说明为什么自由度的n-1
证明抽样分布中的一个定理xi为取自总体x∽N(u,σ2) 的样本,S2为样本方差,证明(n-1)S2/σ2服从卡方分布X2 (n-1),关键是要说明为什么自由度的n-1
xi为取自总体x∽N(u,σ2)
显然,肯定有
(xi-u)/σ∽N(0,1) ,即服从标准正态分布
而根据卡方分布定义,
(当xi服从标准正太分布时,xi^2服从卡方分布,且当被抽样数为n时,其自由度为n,)
则可知:
∑(xi-u)^2/σ^2∽X2 (n)
S^2 =1/(n-1)*∑(xi-x~)^2
而σ2=1/n*∑(xi-u)^2
所以,
有:
(n-1)S^2/σ^2=[(n-1)*1/(n-1)*∑(x-x~)^2]/σ^2
=∑(x-x~)^2/σ^2
问题就在x~为样本均值,样本空间为n-1.而不是总体均值u,空间为n
即如果将中的总体均值 μ 用样本平均数 代替,即得,它是否也服从χ2分布呢?理论上可以证明,它是服从χ2分布的,但是参数不是 n 而是 n-1 了,究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和
最简单可以这样理解 进行一组样本X的测算时 出现n个数据 已知中出现n个数据和S 即默认有n-1个数据时即可得出n个数据的值 那么根据卡方定义 服从自由度(n-1)的卡方分布 而这也是计算s时 分母使用n-1而不是n(unbased)的原因。
如果需要完整证明 找本概率书吧 证明过繁...
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最简单可以这样理解 进行一组样本X的测算时 出现n个数据 已知中出现n个数据和S 即默认有n-1个数据时即可得出n个数据的值 那么根据卡方定义 服从自由度(n-1)的卡方分布 而这也是计算s时 分母使用n-1而不是n(unbased)的原因。
如果需要完整证明 找本概率书吧 证明过繁
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可以这样理解,S2本来自由度是N的,但是由于除以σ平方,而它是和原来的抽样有关系的(一个式子),用掉了一个自由度,所以自由度为n-1