作业帮大学简单高数 极限为什么不能用无穷小来做?tanx~sinx~x 上面变成0了分母我就不管了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/09/09 18:27:29
大学简单高数 极限为什么不能用无穷小来做?tanx~sinx~x 上面变成0了分母我就不管了
大学简单高数 极限
为什么不能用无穷小来做?tanx~sinx~x 上面变成0了分母我就不管了
大学简单高数 极限为什么不能用无穷小来做?tanx~sinx~x 上面变成0了分母我就不管了
此题应该用无穷小来做,便捷.
用无穷小代换有个 条件：
只有乘法除法时才能替换，加法和减法等是不能替换的
如：
lim [tan²x(sinx + x²)] / (1-cosx)
这里 tanx是乘法，可以替换为x，而 sinx是加法，不能替换为x，而cosx 是先转换成：1-2sin²(x/2),
1-cosx=2sin²(x/2)，变成...
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用无穷小代换有个 条件：
只有乘法除法时才能替换，加法和减法等是不能替换的
如：
lim [tan²x(sinx + x²)] / (1-cosx)
这里 tanx是乘法，可以替换为x，而 sinx是加法，不能替换为x，而cosx 是先转换成：1-2sin²(x/2),
1-cosx=2sin²(x/2)，变成除法了，才可以替换成：2(x/2)²
为什么呢？因为：
lim [tan²x(sinx + x²)] / (1-cosx) = lim [x²(sinx + x²)] / [2(x/2)²]
=lim (sinx + x²) × lim x²/ [2(x/2)²]=2lim (sinx + x²)
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分母也是0啊
0/0是不定型，结果是不确定的
摒弃这种等价无穷小的算法吧！“等价无穷小”这个概念本身就有些模糊。之所以有加减法存在时不能换成等价无穷小，是因为“等价无穷小”会带来一个问题，两个因子是几阶等价无穷小。tanx 和sin x虽然在x -> 0处都是等价无穷小，但是二者无穷小阶数不一样，或者是无穷小趋近速度不一样。
最安全的算法是泰勒展开：对tanx和sinx在x->0处泰勒展开，有
tanx = x + (1/3)...
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摒弃这种等价无穷小的算法吧！“等价无穷小”这个概念本身就有些模糊。之所以有加减法存在时不能换成等价无穷小，是因为“等价无穷小”会带来一个问题，两个因子是几阶等价无穷小。tanx 和sin x虽然在x -> 0处都是等价无穷小，但是二者无穷小阶数不一样，或者是无穷小趋近速度不一样。
最安全的算法是泰勒展开：对tanx和sinx在x->0处泰勒展开，有
tanx = x + (1/3)x^3 +o(x^5)
sinx = x - (1/6)x^3 + o(x^5)
【这里展开到x^3就够了，因为分母也才仅是x^3，展开太高之后那些尾项都变成高阶无穷小了】
所以tanx - sinx = (1/2)x^3 + o(x^5)
所以(tanx - sinx) = (1/2) + [o(x^5)]/x^3，取极限结果就是1/2
这里通过泰勒展开，发现tanx和sinx在x -> 0处确实是无穷小的，但是在x^3阶处，二者趋近速度不一样了，所以两个无穷小不完全等价。但是仅考虑x阶的情形时，就被我们笼统称作“等价无穷小”了。
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