求海伦公式带上推导过程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 13:37:39
求海伦公式带上推导过程
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求海伦公式带上推导过程
求海伦公式
带上推导过程

求海伦公式带上推导过程
任意三角形的面积公式(海伦公式):S=√p(p-a)(p-b)(p-c),p=a+b+c/2,a.b.c,为三角形三边.
证明:
证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式.
证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④,故得证.
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha.
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,
若BD=u,DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明:由证一可知,u = v =
∴ ha 2 = t 2 = -
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤,故得证.
证三:余弦定理
分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明.
证明:要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证.
证四:恒等式
分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式.
恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明:如图,tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式,得:
+ + =
①②③代入,得:
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x
∴x = 同理:y = z =
代入 ④,得:r 2 · =
两边同乘以 ,得:
r 2 · =
两边开方,得:r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证.
证五:半角定理
半角定理:tg =
tg =
tg =
证明:根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得:r3 = ×xyz