已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/01 04:21:54
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已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
BD²+EC²=DE²
证明:
方法1:如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°,得到△ACF,连结EF
则△ACF≌△ABD,∴CF=BD,AF=AD,∠CAF=∠BAD,∠ACF=∠B=45°
∴∠ECF=90°,∴CF²+EC²=EF²,BD²+EC²=EF²
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠BAD+∠CAE=45°
又∵∠CAF=∠BAD,∠EAF=∠CAF+∠CAE
∴∠EAF=45°,∴∠EAF=∠DAE
又∵AF=AD,AE=AE
∴△EAF≌△DAE(SAS),∴EF=DE
∴BD²+EC²=DE²
方法2:如图2,以A为顶点引射线AF,使∠FAD=∠BAD,且AF=AB,连结DF、EF
则有△ADF≌△ADB,∴DF=BD,∠DAF=∠BAD,∠ADF=∠ADB
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴AF=AC
又∵∠DAE=45°,∴∠BAD+∠CAE=45°,∴∠CAE=45°-∠BAD
而∠FAE=∠DAE-∠DAF=45°-∠DAF=45°-∠BAD,∴∠CAE=∠FAE
∴△CAE≌△FAE,∴EC=EF,∠AEC=∠AEF
又∵∠EDF+∠DEF=(∠ADF-∠ADC)+(∠AEF-∠AEB)
=(∠ADB-∠ADC)+(∠AEC-∠AEB)
∠ADB=∠DAE+∠AEB=45°+∠AEB,∠AEC=∠DAE+∠ADC=45°+∠ADC
∴∠EDF+∠DEF=90°,∴∠DFE=90°
∴DF²+EF²=DE²
∴BD²+EC²=DE²
DE等于BD加EC