证明44……488……89是完全平方数,有n个4,(n—1)个8
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 13:42:05
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证明44……488……89是完全平方数,有n个4,(n—1)个8
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证明44……488……89是完全平方数,有n个4,(n—1)个8
44……488……89
=44.488.88+1 (n个4,n个8)
=4*11.1*10^n+8*11.1+1 (n个1,n个1)
=(4/9)(99.9)*10^n+(8/9)(99.9)+1 (n个9,n个9)
=(4/9)(10^n-1)*10^n+(8/9)(10^n-1)+1
=(4/9)*10^2n-(4/9)*10^n+(8/9)*10^n-8/9+1
=(4/9)*10^2n+(4/9)*10^n+1/9
=(1/9)(4*10^2n+4*10^n+1)
=[(1/3)(10^n+1)]^2
是一个完全平方数
得证
首先你可以先验证49=7²,4489=67²,444889=667²,那么可猜测44……488……89=66……67²,(n-1)个6,证明如下:(用数学归纳法)
显然当n=1时49=7²成立,,假设当n=k时成立(即44……488……89=66……67²,k个4,k-1个8,k-1个6),那么当n=k+1时有:66……67...
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首先你可以先验证49=7²,4489=67²,444889=667²,那么可猜测44……488……89=66……67²,(n-1)个6,证明如下:(用数学归纳法)
显然当n=1时49=7²成立,,假设当n=k时成立(即44……488……89=66……67²,k个4,k-1个8,k-1个6),那么当n=k+1时有:66……67²=(6*10^k+66……67)²=3.6*10^(2k+1)+2*6*10^k*66……67+66……67²=3.6*10^(2k+1)+800……004*10^k(一共是k-1个0)+44……488……89,你仔细观察下就知道,刚好36+8=44,然后最后一个4加800……004中的4得到一个8,从而得证。可能写得不是很清楚,不明白的地方再问我。
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