在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 04:25:42
在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长
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在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长
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在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长
以PA为边作等边三角形PAQ,使P、Q在AC的两侧.
∵△ABC、△APQ都是正三角形,∴AB＝AC、AP＝AQ、∠BAC＝∠PAQ＝∠AQP＝60°,
∴∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAQ,∴∠BAP＝∠CAQ.
由AB＝AC、AP＝AQ、∠BAP＝∠CAQ,得：△ABP≌△ACQ,∴BP＝CQ.
∵△APQ是正三角形,∴PQ＝AP,又CQ＝BP、CP^2＝AP^2＋BP^2,
∴CP^2＝PQ^2＋CQ^2,∴由勾股定理的逆定理,有：∠PQC＝90°,而∠AQP＝60°,
∴∠AQC＝∠PQC＋∠AQP＝90°＋60°＝（180°－30°）,∴cos∠AQC＝－cos30°＝－√3/2.
由余弦定理,有：AQ^2＋CQ^2－2AQ×CQcos∠AQC＝AC^2,
∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋√12＝25＋2√3,∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋2√3,
又AP^2＋BP^2＝CP^2＝25,∴25＋√3AP×BP＝25＋2√3,∴AP×BP＝2.
∴AP^2＋BP^2＝（AP＋BP）^2－2AP×BP＝（AP＋BP）^2－2×2＝25,∴AP＋BP＝√29.
∵AP＋BP＝√29、AP×BP＝2,
∴由韦达定理可知：AP、BP是方程x^2－√29x＋2＝0的两根,由求根公式,得：
x＝［√29＋√（29－4×2）］/2＝（√29－√21）/2、或x＝（√28－√21）/2.
∴满足条件的AP、BP的长是：一者为（√29－√21）/2,另一者为（√28－√21）/2.

如图,在等边三角形ABC中,P为三角形ABC内任意一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC如图,在等边三角形abc中,p为三角形abc内任意一点,pd垂直bc于d,pe垂直ac于d.证明：AM=PD+PE+PF. 三角形ABC是等边三角形,P为三角形内任意一点.PE平行AB,PF平行AC,那么PEF是什么三角形? 在三角形ABC中P为三角形ABC内任意一点PD⊥BC于DPE⊥AC于EPF⊥AC于FAM⊥BC于M 求AM PD PE PF之间的关系是等边三角形啊 如图,在等边三角形ABC中,P为三角形ABC内任意一点,PD垂直BC于D,PE垂直AC于E,PF垂直AB于F,请说明：PD＋PE＋PF为定值. 如图,在等边三角形abc中,p为三角形abc内任意一点,pd垂直bc于d,pe垂直ac于d.证明：AM=PD+PE+PF. 如图,在等边三角形abc中,p为三角形abc内任意一点,pd垂直bc于d,pe垂直ac于d.证明：AM=PD+PE+PF. 如图,三角形ABC是等边三角形,P为三角形ABC内任意一点,PE//AB,PF//AC,那么三角形PEF是什么三角形?说明理由. 如图,三角形ABC是等边三角形.P为三角形ABC内任意一点,PE⊥AB,PF⊥AC,三角形PEF是什么三角形,说明理由 在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的任意两个顶点构成三角形PAB,在三角形ABC中，AC=BC>AB，点P为三角形ABC所在平面内一点，且点P与三角形ABC的任意两个顶点 p为三角形ABC内任意一点,求证:PA+PB 在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长 在等边三角形ABC中,已知P为平面内一点,且满足ABCP四点中任意三点连线都能构成等腰三角形,这样的点有? 在等边三角形ABC中,已知P为平面内一点,且满足ABCP四点中任意三点连线都能构成等腰三角形,这样的点有? 如图,在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的如图,在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的任意两个顶点构成三角形PAB,三角 在任意三角形ABC中,P点为三角形内一点.已知,△ABC周长为3.求PA+PB+PC的整数值. 【急】在等边三角形ABC中,已知点P为平面内一点,且满足A、B、C、P四点中的任意三点连线都能够成等腰三角形在等边三角形ABC中,已知点P为平面内一点,且满足A、B、C、P四点中的任意三点连线 已知p为三角形abc内任意一点.求证在：2/1(AB+BC+CA) 已知p为三角形abc内任意一点.求证在：1/2(AB+BC+CA)