作业帮确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 04:48:42
![确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价](/uploads/image/z/7110176-32-6.jpg?t=%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E6%95%B0a%2Cb%2Cc%E7%9A%84%E5%80%BC%2C%E4%BD%BFlim%28x%E8%B6%8B%E4%BA%8E0%29+%28ax-sinx%29%2F%5B%E2%88%AB+ln%EF%B9%991%2Bt%26%23179%3B%EF%B9%9A%2Ft+dt%5D%3Dc+%2C%E4%B8%8A%E8%BE%B9%E5%BC%8F%E5%AD%90%E5%90%8E%E9%9D%A2%E9%82%A3%E4%B8%AA%E7%A7%AF%E5%88%86%E4%B8%8B%E7%95%8C%E6%98%AFx%2C%E4%B8%8A%E7%95%8C%E6%98%AFb%EF%BC%9B%E5%A6%82%E6%9E%9Ca%3D1%E9%82%A3%E4%B9%88%E5%88%86%E5%AD%90%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E7%AD%89%E4%BB%B7%E4%BA%8E1%2F6x%5E3%2C%E5%88%86%E6%AF%8D%E7%94%B1%E4%BA%8Eln%EF%BC%881%2Bt%5E3%EF%BC%89%2Ft%E7%AD%89%E4%BB%B7%E4%BA%8Et%5E2%2C%E5%8F%88%E7%A7%AF%E5%88%86%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%BA%94%E8%AF%A5%E7%AD%89%E4%BB%B7)
确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价
确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,
上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；
如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价于t^3,如果这样算c=1/6和用洛必达法则先求导做出的答案不一样.为什么不可以像我那样直接把上限都用等价无穷小替换?
写错了一个字：为什么不可以像我那样直接把上下都用等价无穷小替换？
确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b；如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2,又积分一次应该等价
洛必达法则
d/dx (ax - sinx) = a - cosx
d²/dx² (ax - sinx) = sinx
d/dx ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - ln(1 + x³)/x - x²
d²/dx² ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - 2x
==> 原式 = lim(x→0) (sinx)/(- 2x) = - 1/2 = c
x - sinx x³/6
∫(x,0) ln(1 + t³)/t dt
∫(x,0) t² dt、当x→0的时候亦有t→0,在积分号里用等价无穷小
= 0³/3 - x³/3 = - x³/3
于是lim(x→0) (x³/6)/(- x³/3) = (1/6)(- 3) = - 1/2 = c
当 x→0 时，极限式分子 (ax-sinx)→0，若存在极限c，分母也须趋于0，故积分式上限b=0；
假定题目中积分式为 [ln(1+t³)]/t；（如积分式为 ln[(1+t³)/t] 则由所不同）
应用洛必达法则；lim{x→0}{(ax-sinx)/[∫dt ln(1+t³) /t]}=lim{-x(a-cosx)/ln(1+x³)}...
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当 x→0 时，极限式分子 (ax-sinx)→0，若存在极限c，分母也须趋于0，故积分式上限b=0；
假定题目中积分式为 [ln(1+t³)]/t；（如积分式为 ln[(1+t³)/t] 则由所不同）
应用洛必达法则；lim{x→0}{(ax-sinx)/[∫dt ln(1+t³) /t]}=lim{-x(a-cosx)/ln(1+x³)}
=lim{(cosx-xsinx-a)/[3x²/(1+x³)]}=(1/3)*lim{(cosx-xsinx-a)/x²}；
上式末端分母仍是趋于0，若存在极限，则分子部分也要趋于0，即 cosx-a→0，∴ a=1；
原式=(1/3)*lim{(-2sinx-xcosx)/(2x)}=(1/3)*(-1 -1/2)=-1/2=c；
a=1 需要推导到一定步骤后才能判断出，中途不能假定；不知所述“分母 ln(1+t³)/t 等价于 t² ”是如何得出，又如何能将等价无穷小应用到积分式内部；
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