正数x,y,z满足5x+4y+3z=10求证25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)>=5
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 10:02:41
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正数x,y,z满足5x+4y+3z=10求证25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)>=5
正数x,y,z满足5x+4y+3z=10
求证25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)>=5
正数x,y,z满足5x+4y+3z=10求证25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)>=5
仔细观察:可令5x=a 4y=b 3z=c
那么原条件即为:a+b+c=10
即求证:a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)>=10
由柯西不等式:【(b+c)+(a+c)+(a+b)】*【a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)】>=(a+b+c)^2
故a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2=5
由柯西不等式
25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)
≥[(5x+4y+3z)^2]/2(5x+4y+3z)
=5
故原不等式成立。
如果楼主不知道柯西不等式
就令5x=X,4y=Y,3z=Z,满足X+Y+Z=10
求
X^2/(10-X)+Y^2/(10-Y)+Z^2/(10-Z)
...
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由柯西不等式
25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)
≥[(5x+4y+3z)^2]/2(5x+4y+3z)
=5
故原不等式成立。
如果楼主不知道柯西不等式
就令5x=X,4y=Y,3z=Z,满足X+Y+Z=10
求
X^2/(10-X)+Y^2/(10-Y)+Z^2/(10-Z)
再令10-X=x'
10-Y=y'
10-Z=z'
得到x'+y'+z'=20
求(x'-10)^2/x'+(y'-10)^2/y'+(z'-10)^2/z'≥5
拆开括号,会发现问题只是求(1/x'+1/y'+1/z')的最值
乘以(x'+y'+z')化简即得,但方法是很繁的,还是了解柯西不等式简洁
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