已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 10:07:51
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已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
设|向量BC|=a,|向量CA|=b,|向量AB|=c,则有:
a+b+c=6,b^2=ac
∴a+c=6-b,ac=b^2
从而a、c是方程x^2-(6-b)x+b^2=0的两个实数根
由韦达定理得:
(6-b)^2-4b^2≥0
36-12b+b^2-4b^2≥0
b^2+4b-12≤0
(b+6)(b-2)≤0
由于b>0,故b≤2
另一方面,|a-c|<b
∴(a-c)^2<b^2
(a+c)^2-4ac<b^2
(6-b)^2-4b^2<b^2
b^2+3b-9>0
由b>0知:b>(-3+3√5)/2
∴(-3+3√5)/2<b≤2
而向量BA·向量BC
=|向量BA|·|向量BC|·cosB
=ac·(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(a^2+c^2-b^2)/2
=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2
=[(6-b)^2-3b^2]/2
=-(b+3)^2+27
由(-3+3√5)/2<b≤2得:(3+3√5)/2<b+3≤5
(27+9√5)/2<(b+3)^2≤25
-(27+9√5)/2>-(b+3)^2≥-25
-(27+9√5)/2+27>-(b+3)^2+27≥-25+27
即:(27-9√5)/2>-(b+3)^2+27≥2
所求的向量BA·向量BC的取值范围是:[2,(27-9√5)/2)
设|向量BC|=a,|向量CA|=b,|向量AB|=c,则有:
a+b+c=6,b^2=ac
∴a+c=6-b,ac=b^2
从而a、c是方程x^2-(6-b)x+b^2=0的两个实数根
由韦达定理得:
(6-b)^2-4b^2≥0
36-12b+b^2-4b^2≥0
b^2+4b-12≤0
(b+6)(b-2)≤0
由于b>...
全部展开
设|向量BC|=a,|向量CA|=b,|向量AB|=c,则有:
a+b+c=6,b^2=ac
∴a+c=6-b,ac=b^2
从而a、c是方程x^2-(6-b)x+b^2=0的两个实数根
由韦达定理得:
(6-b)^2-4b^2≥0
36-12b+b^2-4b^2≥0
b^2+4b-12≤0
(b+6)(b-2)≤0
由于b>0,故b≤2
另一方面,|a-c|<b
∴(a-c)^2<b^2
(a+c)^2-4ac<b^2
(6-b)^2-4b^2<b^2
b^2+3b-9>0
由b>0知:b>(-3+3√5)/2
∴(-3+3√5)/2<b≤2
而向量BA·向量BC
=|向量BA|·|向量BC|·cosB
=ac·(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(a^2+c^2-b^2)/2
=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2
=[(6-b)^2-3b^2]/2
=-(b+3)^2+27
由(-3+3√5)/2<b≤2得:(3+3√5)/2<b+3≤5
(27+9√5)/2<(b+3)^2≤25
-(27+9√5)/2>-(b+3)^2≥-25
-(27+9√5)/2+27>-(b+3)^2+27≥-25+27
即:(27-9√5)/2>-(b+3)^2+27≥2
所求的向量BA·向量BC的取值范围是:[2,(27-9√5)/2)
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