极限加法证明设x→a时,limf(x)=A,limg(x)=B,下面用ε和δ证明:lim(f(x)+g(x))=A+B任给ε>0,∵limf(x)=A.存在δ1>0.当0<|x-a|<δ1时,|f(x)-A|<ε/2.∵limg(x)=B.存在δ2>0.当0<|x-
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 12:45:12
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极限加法证明设x→a时,limf(x)=A,limg(x)=B,下面用ε和δ证明:lim(f(x)+g(x))=A+B任给ε>0,∵limf(x)=A.存在δ1>0.当0<|x-a|<δ1时,|f(x)-A|<ε/2.∵limg(x)=B.存在δ2>0.当0<|x-
极限加法证明
设x→a时,limf(x)=A,limg(x)=B,下面用ε和δ证明:lim(f(x)+g(x))=A+B
任给ε>0,∵limf(x)=A.存在δ1>0.当0<|x-a|<δ1时,|f(x)-A|<ε/2.
∵limg(x)=B.存在δ2>0.当0<|x-a|<δ2时,|g(x)-B|<ε/2.
取δ=min{δ1,δ2)>0,当0<|x-a|<δ时,
|(f(x)+g(x))-(A+B)|≤|f(x)-A|+|g(x)-B|<ε/2.+ε/2.=ε.
此即:lim(f(x)+g(x))=A+B
为什么是ε/2?
极限加法证明设x→a时,limf(x)=A,limg(x)=B,下面用ε和δ证明:lim(f(x)+g(x))=A+B任给ε>0,∵limf(x)=A.存在δ1>0.当0<|x-a|<δ1时,|f(x)-A|<ε/2.∵limg(x)=B.存在δ2>0.当0<|x-
这要保证
|(f(x)+g(x))-(A+B)|≤|f(x)-A|+|g(x)-B|<ε/2.+ε/2.=ε
成立
你选ε/4,一样可以
∵limf(x)=A.存在δ1>0.当0<|x-a|<δ1时,|f(x)-A|<ε/4
∵limg(x)=B.存在δ2>0.当0<|x-a|<δ2时,|g(x)-B|<ε/4
取δ=min{δ1,δ2)>0,当0<|x-a|<δ时,
|(f(x)+g(x))-(A+B)|≤|f(x)-A|+|g(x)-B|<ε/4+ε/4=ε/2< ε
此即:lim(f(x)+g(x))=A+B
这个无所谓,取成ε/3,ε/4都行,因为当ε是任意小的正数时,ε/2,ε/3,ε/4,2ε等都是任意小的正数。