如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.给证明啊
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/05 18:06:31
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如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,
求PA+PB的最小值.给证明啊如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.给证明啊
作A关于MN的对称点A1,连接A1B交MN于P,则此时PA+PB最小(一条线段).
下求A1B的长:
设A1A交MN于点U,则角NAU=30°,易知A1A=根号3,AB=1/2,由余弦定理可求得A1B=(根号7)/2
(此时PA+PB=A1B)
如图:做点B关于MN的对称点C,连接AC,其于MN的交点为P,则此时PA+PB最小
证明:在MN上另取一点Q,连接AQ,BQ,CQ
由于B、C关于MN对称,所以BQ=CQ,BP=CP
所以:PA+PB=PA+PC,QA+QB=QA+QC
在△ACQ中,由于两边之和大于第三边,所以:QA+QC > AC=PA+PC
所以,当P为AC与MN的交点时,PA+PB最小
下面求解PA+PB的值
连接AO、CO,由于同弧所对圆心角是圆周角的2倍,所以∠AON=60°,一周为360°,刚好1/6
所以弧AN为1/6圆周,而B是弧AN的中点,所以BN为1/12圆周
B与C关于MN对称,所以弧CN也是1/12圆周
所以弧AC为 1/6 + 1/12 = 1/4圆周,所对的圆周角为 360°/4 = 90°
即:∠AOC=90°
由于OA、OC都是圆的半径,所以OA=OC=MN/2=1
所以在Rt△AOC中,AC²=OA²+OC²=2
所以:AC=√2
即:PA+PB=√2 为其最小值