作业帮在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 13:52:43
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
所以在△ABC中,由余弦定理得：AC2=(22)2+42-2×22×4cos45°=8,解得 AC=22,
所以AB2+AC2=8+8=16=BC2,即AB⊥AC,
又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥AB,
又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC,又AB∥CD,所以CD⊥平面PAC,
又因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC；
：（Ⅱ）因为△PAB为等腰三角形,所以 PA=AB=22,PB=PA2+PB2=4
又AB∥CD,所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．
由CD⊥平面PAC,在Rt△PAC中,PA=22,AC=22,所以PC=4．
故PC边上的高为2,即点A到平面的距离,即点点B到平面PCD的距离为2．
设直线PB与平面PCD所成的角为θ,则 sinθ=hPB=24=12,
又 θ∈[0,π/2],所以 θ=π/6．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC,所以CD⊥AC,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得 DE=2,AC= 22,所以四边形ACDE的面积为 12(2+22)×2=3,所以四棱锥P-ACDE的体积为 13×22×3= 22
22
（Ⅰ）证明：因为 ABC=45°，AB=2 ，BC=4，所以在 中，由余弦定理得： ，解得 ，
所以 ，即 ，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥ ，
又PA ，所以 ，又AB∥CD，所以 ，又因为
，所以平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作 于H，则
，又AB∥CD，AB 平面 内，所以AB平行于...
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（Ⅰ）证明：因为 ABC=45°，AB=2 ，BC=4，所以在 中，由余弦定理得： ，解得 ，
所以 ，即 ，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥ ，
又PA ，所以 ，又AB∥CD，所以 ，又因为
，所以平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作 于H，则
，又AB∥CD，AB 平面 内，所以AB平行于平面 ，所以点A到平面 的距离等于点B到平面 的距离，过点B作BO⊥平面 于点O，则 为所求角，且 ，又容易求得 ，所以 ，即 = ，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为 ；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 ，所以 ，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得 ，AC= ，所以四边形ACDE的面积为 ，所以四棱锥P—ACDE的体积为 = 。
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