在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 18:37:31
![在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.](/uploads/image/z/8531471-47-1.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%BA%94%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCDE%E4%B8%AD%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCDE%2CAB%E2%80%96CD%2CAC%E2%80%96ED%2CAE%E2%80%96BC%2C+AB%3D2%E2%88%9A2%2C%E2%88%A0ABC%3D45%C2%B0%2CBC%3D2AE%3D4%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2PAB%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.+%28%E2%85%A0%29%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%E5%B9%B3%E9%9D%A2PCD%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PAC%3B+%28%E2%85%A1%29%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PCD%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%3B+%28%E2%85%A2%29%E6%B1%82%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ACDE%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF.)
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
所以在△ABC中,由余弦定理得:AC2=(22)2+42-2×22×4cos45°=8,解得 AC=22,
所以AB2+AC2=8+8=16=BC2,即AB⊥AC,
又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥AB,
又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC,又AB∥CD,所以CD⊥平面PAC,
又因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC;
:(Ⅱ)因为△PAB为等腰三角形,所以 PA=AB=22,PB=PA2+PB2=4
又AB∥CD,所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.
由CD⊥平面PAC,在Rt△PAC中,PA=22,AC=22,所以PC=4.
故PC边上的高为2,即点A到平面的距离,即点点B到平面PCD的距离为2.
设直线PB与平面PCD所成的角为θ,则 sinθ=hPB=24=12,
又 θ∈[0,π/2],所以 θ=π/6.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知CD⊥平面PAC,所以CD⊥AC,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得 DE=2,AC= 22,所以四边形ACDE的面积为 12(2+22)×2=3,所以四棱锥P-ACDE的体积为 13×22×3= 22
22
(Ⅰ)证明:因为 ABC=45°,AB=2 ,BC=4,所以在 中,由余弦定理得: ,解得 ,
所以 ,即 ,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥ ,
又PA ,所以 ,又AB∥CD,所以 ,又因为
,所以平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作 于H,则
,又AB∥CD,AB 平面 内,所以AB平行于...
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(Ⅰ)证明:因为 ABC=45°,AB=2 ,BC=4,所以在 中,由余弦定理得: ,解得 ,
所以 ,即 ,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥ ,
又PA ,所以 ,又AB∥CD,所以 ,又因为
,所以平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作 于H,则
,又AB∥CD,AB 平面 内,所以AB平行于平面 ,所以点A到平面 的距离等于点B到平面 的距离,过点B作BO⊥平面 于点O,则 为所求角,且 ,又容易求得 ,所以 ,即 = ,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为 ;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 ,所以 ,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得 ,AC= ,所以四边形ACDE的面积为 ,所以四棱锥P—ACDE的体积为 = 。
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