在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC,∠ABC=45°,AB=2√2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三三角形.(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/01 14:13:49
![在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC,∠ABC=45°,AB=2√2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三三角形.(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.](/uploads/image/z/8588696-32-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%BA%94%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCDE%E4%B8%AD%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCDE%2CAB%E2%80%96CD%2CAC%E2%80%96ED%2CAE%E2%80%96BC%2C%E2%88%A0ABC%3D45%C2%B0%2CAB%3D2%E2%88%9A2%2CBC%3D2AE%3D4%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2PAB%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.%28%E2%85%A0%29%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%E5%B9%B3%E9%9D%A2PCD%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PAC%3B+%28%E2%85%A1%29%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PCD%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%3B+%28%E2%85%A2%29%E6%B1%82%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ACDE%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF.)
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC,∠ABC=45°,AB=2√2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三三角形.(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC,∠ABC=45°,AB=2√2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三
三角形.(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC,∠ABC=45°,AB=2√2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三三角形.(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积.
因为PA⊥平面ABCDE,所以∠PAB=90°
因为AB‖CD,所以CD⊥PA
由余弦定理得(c*c = a*a + b*b - 2*a*b*cosC),所以AC=2√2,故三角形ABC为等腰直角三角形,所以∠BAC=90°,所以AB⊥AC
因为AB‖CD,所以CD⊥AC
因为AC交PA于A点,所以CD⊥平面PAC
所以平面PCD⊥平面PAC
因为三角形PAB是等腰三,PA⊥AB,故PAB为等腰直三,所以PB=4,PA=2√2
过B点做BF⊥CD交CD于点F,可得BF=2√2
因为AC=2√2 ,所以PC=4
因为CD⊥平面PAC,所以DF⊥PC,所以PF=2√6
所以∠PBF=90°所以tan∠BPF=2√2,所以∠BPF约等于35.2643896827543
因为BC=2AE=4,所以AE=2,所以EC=2,所以ED=CD=√2 ,所以面ACDE=3
所以四棱锥P-ACDE的体积=PA*面ACDE/3=2√2