对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{an /n+1}的前n项和的公式是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 06:26:55
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对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{an /n+1}的前n项和的公式是
对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{an /n+1}的前n项和的公式是
对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{an /n+1}的前n项和的公式是
y'=nx^(n-1)-(n+1)x^n
故切线斜率k为n2^(n-1)-(n+1)2^n
代入笔者求出的切线方程得:
an=-2k-2^n=2(n+1)2^n-n2^n-2^n=(n+1)2^n
则数列an/(n+1)即为等比数列2^n
Sn=2^(n+1)-1
∵y=xn(1-x),
∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′•xn
=n•xn-1(1-x)+(-xn).
f′(2)=-n•2n-1-2n=(-n-2)•2n-1.
∵函数在点x=2处点的纵坐标为y=-2n.
∴切线方程为y+2n=(-n-2)•2n-1(x-2),与y轴交点纵坐标为y=(n...
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∵y=xn(1-x),
∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′•xn
=n•xn-1(1-x)+(-xn).
f′(2)=-n•2n-1-2n=(-n-2)•2n-1.
∵函数在点x=2处点的纵坐标为y=-2n.
∴切线方程为y+2n=(-n-2)•2n-1(x-2),与y轴交点纵坐标为y=(n+1)•2n=an
∴ann+1=2n,∴数列ann+1成等比数列,首项为2,公比为2,
∴前n项和为21-2n1-2=2(2n-1)=2n+1-2.
答案:2n+1-2
收起
y'=nx^n-1-(n+1)x^n,
曲线y=x^n(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2^(n-1)-(n+1)2^n
切点为(2,-2n),
所以切线方程为y+2^n=k(x-2),
令x=0得an=(n+1)2^n,
令bn=an/(n+1)=2^n
数列{an/n+1}的前n项和为2+22+23+……+2n=2^(n+1)-2.
故答案为:2^(n+1)-2.