1:计算曲面积分:∫L(x^2+1-e^ysinx)dy-e^ycosxdx L为从A(0,-1)沿x=(1-y^2)^1/2到B(0,1)的一段弧2:求过点(4,2,2/3)的平面,求与三个坐标面在第一卦线所围成的立体的体积最小时平面的方程,并写出此时体积为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 06:51:36
![1:计算曲面积分:∫L(x^2+1-e^ysinx)dy-e^ycosxdx L为从A(0,-1)沿x=(1-y^2)^1/2到B(0,1)的一段弧2:求过点(4,2,2/3)的平面,求与三个坐标面在第一卦线所围成的立体的体积最小时平面的方程,并写出此时体积为](/uploads/image/z/8636271-15-1.jpg?t=1%3A%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%88%86%EF%BC%9A%E2%88%ABL%28x%5E2%2B1-e%5Eysinx%29dy-e%5Eycosxdx+L%E4%B8%BA%E4%BB%8EA%280%2C-1%29%E6%B2%BFx%3D%281-y%5E2%29%5E1%2F2%E5%88%B0B%280%2C1%29%E7%9A%84%E4%B8%80%E6%AE%B5%E5%BC%A72%3A%E6%B1%82%E8%BF%87%E7%82%B9%284%2C2%2C2%2F3%29%E7%9A%84%E5%B9%B3%E9%9D%A2%2C%E6%B1%82%E4%B8%8E%E4%B8%89%E4%B8%AA%E5%9D%90%E6%A0%87%E9%9D%A2%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%8D%A6%E7%BA%BF%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E7%AB%8B%E4%BD%93%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E6%97%B6%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%2C%E5%B9%B6%E5%86%99%E5%87%BA%E6%AD%A4%E6%97%B6%E4%BD%93%E7%A7%AF%E4%B8%BA)
1:计算曲面积分:∫L(x^2+1-e^ysinx)dy-e^ycosxdx L为从A(0,-1)沿x=(1-y^2)^1/2到B(0,1)的一段弧2:求过点(4,2,2/3)的平面,求与三个坐标面在第一卦线所围成的立体的体积最小时平面的方程,并写出此时体积为
1:计算曲面积分:∫L(x^2+1-e^ysinx)dy-e^ycosxdx L为从A(0,-1)沿x=(1-y^2)^1/2到B(0,1)的一段弧
2:求过点(4,2,2/3)的平面,求与三个坐标面在第一卦线所围成的立体的体积最小时平面的方程,并写出此时体积为多少.
1:计算曲面积分:∫L(x^2+1-e^ysinx)dy-e^ycosxdx L为从A(0,-1)沿x=(1-y^2)^1/2到B(0,1)的一段弧2:求过点(4,2,2/3)的平面,求与三个坐标面在第一卦线所围成的立体的体积最小时平面的方程,并写出此时体积为
1、
∫(L)(x^2+1-e^ysinx)dy-e^ycosxdx
=∫(L) x^2 dy +∫(L) (1-e^ysinx)dy-e^ycosxdx
---后一个曲线积分与路径无关,所以换积分路径为有向直线段AB---
=∫(-1~1) (1-y^2)dy +∫(-1~1) (1-0)dy
=4/3+2=10/3
2、设过已知点的平面方程是x/a+y/b+z/c=1,则4/a+2/b+2/(3c)=1.
此平面与三坐标面在第一卦限围成的立体的体积V=1/6×abc,所以问题转化为求函数f(u,v,w)=uvw在条件4/u+2/v+2/(3w)=1下的最小值问题.
构造拉格朗日函数φ(u,v,w)=uvw+λ(4/u+2/v+2/(3w)-1)
解方程组
αφ/αu=vw-4λ/u^2=0
αφ/αv=uw-2λ/v^2=0
αφ/αw=uv-2λ/(3w^2)=0
4/u+2/v+2/(3w)-1=0
由前三个方程得u=2v=6w,代入第四个方程得u=12,v=6,w=2
此时平面的方程是x/12+y/6+z/2=1,即x+2y+6z=12
由问题的实际意义,立体的体积的最小值一定存在,又可能的最小值点唯一,所以当平面方程是x+2y+6z=12时,对应的立体的体积最小,此时体积V=1/6×12×6×2=24