已知a,b是不相等的两个正数,求证(a+b)(a³+b³)大于(a²+b²)²已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于(ax+by)²
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/09 01:56:08
![已知a,b是不相等的两个正数,求证(a+b)(a³+b³)大于(a²+b²)²已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于(ax+by)²](/uploads/image/z/8647497-9-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%E6%98%AF%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%88a%2Bb%29%EF%BC%88a%26sup3%3B%2Bb%26sup3%3B%EF%BC%89%E5%A4%A7%E4%BA%8E%EF%BC%88a%26sup2%3B%2Bb%26sup2%3B%EF%BC%89%26sup2%3B%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%E9%83%BD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%95%B0%2Cx%2Cy%3DR%2C%E4%B8%94a%2Bb%3D1%2C%E6%B1%82%E8%AF%81ax%26sup2%3B%2Bby%26sup2%3B%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E7%AD%89%E4%BA%8E%EF%BC%88ax%2Bby%EF%BC%89%26sup2%3B)
已知a,b是不相等的两个正数,求证(a+b)(a³+b³)大于(a²+b²)²已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于(ax+by)²
已知a,b是不相等的两个正数,求证
(a+b)(a³+b³)大于(a²+b²)²
已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证
ax²+by²大于等于(ax+by)²
已知a,b是不相等的两个正数,求证(a+b)(a³+b³)大于(a²+b²)²已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于(ax+by)²
高中的解法:
1.
(a+b)(a3+b3)-(a2+b2)2
=(a+b)(a+b)(a2+b2-ab)-(a2+b2)2
=(a2+b2+2ab)(a2+b2-ab)-(a2+b2)2
=(a2+b2)2+ab(a2+b2)-2a2b2-(a2+b2)2
=ab(a2+b2-2ab)
=ab(a-b)2
因为a,b为不相等的正数,所以ab>0,(a-b)2>0,所以(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2
2.
因为a+b=1,所以
(ax2+by2)-(ax+by)2
=(a+b)(ax2+by2)-(ax+by)2
=(a2x2+aby2+abx2+b2y2)-(a2x2+b2y2+2abxy)
=abx2+aby2-2abxy
=ab(x2+y2-2xy)
=ab(x-y)2
因为a,b为正数,所以ab>0,(x-y)2>=0,所以(ax2+by2)>=(ax+by)2
(a+b)(a³+b³)
=a^4+ab³+ba³+b^4
=a^4+b^4+(ab³+ba³)
>a^4+b^4+2√(ab³*ba³)
=a^4+b^4+2a²b²
=(a²+b²)²
ax²+by²...
全部展开
(a+b)(a³+b³)
=a^4+ab³+ba³+b^4
=a^4+b^4+(ab³+ba³)
>a^4+b^4+2√(ab³*ba³)
=a^4+b^4+2a²b²
=(a²+b²)²
ax²+by²-(ax+by)²
=(a-a² )x² +(b-b² )y² -2abxy
=abx² +aby² -2abxy
=ab(x-y)² ≥0
所以ax²+by²≥(ax+by)²
收起
柯西不等式会不会啊
当然这么简短的证明直接化简开来就可以了,没必要用柯西架炮台
a^2+b^2>=2ab(当且仅当a=b时,等号成立)知道不,不知道作差就看出来了
(a+b)(a³+b³)分别(a²+b²)²剩开,相同的放一边
最后就比ab(a^2+b^2)和2a^2b^2
a^2+b^2>=2ab一带就说明了
下面也差不多