设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/08/03 21:48:12

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设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数.
设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数.

设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数.
按照下面的次序做
1.证明f在[0,1)上是常数
2.证明f(0)=f(1)
3.证明f在[1,+oo)上是常数
4.证明f是偶函数

由f(x/2) = f(x) 可得：
f(x) = f (x/2) = f(x/4) = f(x/ 2^3) = ...... = f(x/2^n)
因为1/2^n 在 n->∞ 时为0
即f(x) = f(x/2^n) = f(0)
又f(x) 在x = 0 点连续，所以f(x)在 x = 0 有定义，即为f(0)，它是一个常数
所以f(x) 为常量...

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由f(x/2) = f(x) 可得：
f(x) = f (x/2) = f(x/4) = f(x/ 2^3) = ...... = f(x/2^n)
因为1/2^n 在 n->∞ 时为0
即f(x) = f(x/2^n) = f(0)
又f(x) 在x = 0 点连续，所以f(x)在 x = 0 有定义，即为f(0)，它是一个常数
所以f(x) 为常量函数
至于题目给的，f(x)在1点连续，我不清楚这个条件怎么用，可能我的证明过程有瑕疵吧~

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设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数. 设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数. 设f（x）在R上有定义,在x=0点连续,且f（x/a）=f（x）,其中a为小于1的常数,证明f（x）为常数函数. 设函数fx是定义在r上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且当0 定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(1) 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上, 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数设f(x)为定义在R上的偶函数,且在[0,+8)上是减函数试比较(-3/4)与f (a2-a+1)的大小设 f(x) 是定义在R上的函数,且对于任意x、y ∈R ,恒有 f(x+y)=f(x) f(y), 且x1. 证明：（1）当f(0)=1, 且x 函数的连续与间断设f(x)在R上连续,且f(x)不等于0,Φ(x)在R上有定义,且有间断点,则判断“Φ(x)/f(x)必有间断点”是否正确,说明理由. 设函数f（x）是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R.设函数f（x）是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R,恒有f（x+y）=f（x）f（y）,且当x＞0时,f（x）＞1.证明：（1）当f（0）=1,且x＜0时,0＜f（x）设定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)*f(x+2)=12,且f(2010)=2,则f(0)等于设定义在r上的函数f x 满足f x =-f(x+3/2),且f(1)=1,则f(2014)= 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是减函数,求不等式f(3x^2+x-3) 设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2,则f(2012)+f(2011)= 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在R上为增函数,求不等式f(x2-4x-5)>的解集设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)={ax+1 (1)式,-1 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)={ax+1 (1)式,-1