设三阶矩阵A,满足A^2=E,但A≠±E,试证明:[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0,陈文灯上一道题.关于矩阵的

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 03:20:41
设三阶矩阵A,满足A^2=E,但A≠±E,试证明:[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0,陈文灯上一道题.关于矩阵的
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设三阶矩阵A,满足A^2=E,但A≠±E,试证明:[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0,陈文灯上一道题.关于矩阵的
设三阶矩阵A,满足A^2=E,但A≠±E,试证明:[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0,陈文灯上一道题.关于矩阵的

设三阶矩阵A,满足A^2=E,但A≠±E,试证明:[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0,陈文灯上一道题.关于矩阵的
由A≠±E,得A+E,A-E均不是零矩阵,由A^2=E得(A+E)( A-E)=O,故A+E,A-E均是奇异的（不可逆的）,否则如果A+E可逆,对(A+E)( A-E)=O两边左乘A+E的逆得 A-E=O,如果A-E可逆,对(A+E)( A-E)=O两边右乘A-E的逆得 A+E=O,A+E,A-E均不是零矩阵,故R(A-E),R(A+E)均不等于零,A+E,A-E均不可逆的,故R(A-E),R(A+E)均不等于3（满秩）,又由两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n,R(A-E)+R(A+E)≤3,故R(A-E),R(A+E)不能都是2,故R(A-E)]=1或[R(A+E)=1,于是得[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0.

楼上的讲法存在巨大的逻辑跳跃，可以认为是错的。
合理的步骤是，先利用A^2=E证明A可对角化（因为极小多项式没有重根），特征值是1或-1，然后根据条件得这两个特征值的重数一个是一重的另一个是两重的。
楼上的做法跳过了可对角化的证明而直接考虑相似标准型，事实上A有无穷多种可能。...

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楼上的讲法存在巨大的逻辑跳跃，可以认为是错的。
合理的步骤是，先利用A^2=E证明A可对角化（因为极小多项式没有重根），特征值是1或-1，然后根据条件得这两个特征值的重数一个是一重的另一个是两重的。
楼上的做法跳过了可对角化的证明而直接考虑相似标准型，事实上A有无穷多种可能。

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~~~~~~~~~~| 1 | | 1 |
A = ~~~~ | -1 | or | 1 |
~~~~~ | -1 | | -1|
[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0 说明 R(A-E)=1或者R(A+E)=1
你想想E是什么样~ 能使A-E或者A+E秩...

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~~~~~~~~~~| 1 | | 1 |
A = ~~~~ | -1 | or | 1 |
~~~~~ | -1 | | -1|
[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0 说明 R(A-E)=1或者R(A+E)=1
你想想E是什么样~ 能使A-E或者A+E秩为1的话~只能在2行上是相反数~
而且A^2=E, 说明~A的逆等于A本身
所以就得以上答案~
实在不好意思~
我昨天有点瞌睡~我还以为是什么选择题~你的答案没给齐呢~最后才发现时证明题~
2楼的那个答案是对的~

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