已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0求cosa的值;求cos(a+β)的值等式恒成立,a,β为常数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/01 01:52:22
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已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0求cosa的值;求cos(a+β)的值等式恒成立,a,β为常数
已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0
求cosa的值;求cos(a+β)的值
等式恒成立,a,β为常数
已知对任意x属于R,cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0求cosa的值;求cos(a+β)的值等式恒成立,a,β为常数
cos(x+a)+sin(x+β)
=cosxcosa-sinxsina+cosxcosβ-sinxsinβ
=cosx(cosa-cosβ)-sinx(sina+sinβ)
∵cos(x+a)+sin(x+β)+√2cosx=0
∴cosx(cosa-cosβ+√2)-sinx(sina+sinβ)=0
∵对任意x属于R有 cos(x+a)+sin(x+β)+√2cosx=0恒成立
∴则有cosa-cosβ+√2=0,sina+sinβ=0
∵sina+sinβ=0,0
既然该方程恒成立,分别以x=0和x=π/2代入:
cosa+sinβ+√2=0 ………………(1)
-sina+cosβ=0 ………………(2)
由(1)得 sinβ= -√2 - cosa (3)
...
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既然该方程恒成立,分别以x=0和x=π/2代入:
cosa+sinβ+√2=0 ………………(1)
-sina+cosβ=0 ………………(2)
由(1)得 sinβ= -√2 - cosa (3)
(2) 得 cosβ=sina (4)
(3)^2+(4)^2得:
1=2+2√2 cosa +1
∴ cosa= -(√2)/2
∴ sina= (√2)/2 或 -(√2)/2
根据(4) cosβ = (√2)/2 或 -(√2)/2
按(1) sinβ = -(√2)/2
∴ cos(a+β) = cosa cosβ - sina sinβ = 0
收起
x=0得:cosa+sinβ=-√2
x=π/2得:-sina+cosβ=0
:sina=cosβ
:sin²β=(-√2-cosa)² ;
sin²β+cos²β=1即:(-√2-cosa)²+sin²a=1;
即cosa= -√2/2
所以sinβ=-√2/2
cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ=cosasina-sinacosa=0
因为 cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
即 cosxcosa-sinsina +sinxcosβ+cosxsinβ+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
=>cosx(cosa+sinβ+根号2)+sinx(cosβ-sina)=0 对于任意x属于R成立
=>(cosa...
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因为 cos(x+a)+sin(x+β)+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
即 cosxcosa-sinsina +sinxcosβ+cosxsinβ+根号2cosx=0 对于任意x属于R成立
=>cosx(cosa+sinβ+根号2)+sinx(cosβ-sina)=0 对于任意x属于R成立
=>(cosa+sinβ+根号2)=0且(cosβ-sina)=0
=>cosβ=sina=cos(PI/2-a) =>β-(PI/2-a)=2nPI (n为任意整数)
=> (β+a)=2nPI+PI/2 且β=(PI/2-a)+2nPI (n为任意整数) =>cos(a+β)=0
由于 cosa+sinβ+根号2 =0
所以cosa+sin(PI/2-a)+根号2 =0 =>cosa+cosa+根号2 =0 =>cosa=(-根号2 )/2
综上所述:cosa=(--根号2 )/2且cos(a+β)=0
收起