作业帮如图,四边形ABCD为矩形,C点在x轴上,A点在y轴上,D点的坐标是（0,0）,B点的坐标是（3,4）,矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E,F分别在AD和AB上,且F点的坐标是（2,4）.（3）点N在x轴上,直线EF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 02:33:30
如图,四边形ABCD为矩形,C点在x轴上,A点在y轴上,D点的坐标是（0,0）,B点的坐标是（3,4）,矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E,F分别在AD和AB上,且F点的坐标是（2,4）.（3）点N在x轴上,直线EF
如图,四边形ABCD为矩形,C点在x轴上,A点在y轴上,D点的坐标是（0,0）,B点的坐标是（3,4）,矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E,F分别在AD和AB上,且F点的坐标是（2,4）.
（3）点N在x轴上,直线EF是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形,若存在请直接写出M点的坐标；若不存在,请说明理由.
如图,四边形ABCD为矩形,C点在x轴上,A点在y轴上,D点的坐标是（0,0）,B点的坐标是（3,4）,矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E,F分别在AD和AB上,且F点的坐标是（2,4）.（3）点N在x轴上,直线EF
（1）由已知得,FG=AF=2,FB=1
∵四边形ABCD为矩形
∴∠B=90°
BG=FG2-FB2=22-12=3
∴G点的坐标为（3,4-3）；
（2）设直线EF的解析式是y=kx+b
在Rt△BFG中,cos∠BFG=FBFG=12
∴∠BFG=60°
∴∠AFE=∠EFG=60°
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=23
∴E点的坐标为（0,4-23）
又F点的坐标是（2,4）
∴b=4-2
32k+b=4
解得k=3,b=4-23；
∴直线EF的解析式为y=3x+4-23；注：
求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P,利用△BFG∽△PGE得到OE=4-23,所以E（0,4-23）；
求E点坐标方法三：过点E作EP⊥BC于点P,在Rt△GEP中,由勾股定理得EG2=GP2+EP2,得到OE=4-23,所以E（0,4-23）；
求E点坐标方法四：连接AG,证△AEG是等边三角形,得到OE=4-23,所以E（0,4-23）．3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形,则可能存在以下情形
①FG为平行四边形的一边,且N点在x轴正半轴上,如图1所示．
过M1点作M1H⊥x轴于点H,
∵M1N1∥FG,
∴∠HM1N1=∠HQF,
又∵AB∥OQ,
∴∠HQF=∠BFG,
∴∠HM1N1=∠BFG
又∵∠M1HN1=∠B=90°,M1N1=FG,
∴△M1HN1≌△GBF,
∴M1H=GB=3,即yM1=3．
由直线EF解析式y=3x+4-23,求出xM1=3-4
33．
∴M1（3-4
33,3）；
②FG为平行四边形的一边,且N点在x轴负半轴上,如图2所示．
仿照与①相同的办法,可求得M2（1-4
33,-3）；③FG为平行四边形的对角线,如图3所示．过M3作FB延长线的垂线,垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C,则有M3H=CG=4-3,所以M3的纵坐标为8-3；
代入直线EF解析式,得到M3的横坐标为1+4
33．
∴M3（1+4
33,8-3）．
综上所述,存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M1（3-4
33,3）,M2（1-4
33,-3）,M3（1+4
33,8-3）．
设EG与X轴交于P，直线EF：Y=√3X+(4-2√3)，
则P(2-4√3/3，0)
①MN∥FG，MN=FG的情况：则ΔMNP是等边三角形，
∴PN=FG=2，∴N(4-4√3/3，0)或(-4√3/3，0)
M1(1-2√3/3，2-√3)，M2(3-4√3/3，2+√3)
②MN是对角线。G(3，4-√3)，FG中点(5/2，4-1/2√3)
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设EG与X轴交于P，直线EF：Y=√3X+(4-2√3)，
则P(2-4√3/3，0)
①MN∥FG，MN=FG的情况：则ΔMNP是等边三角形，
∴PN=FG=2，∴N(4-4√3/3，0)或(-4√3/3，0)
M1(1-2√3/3，2-√3)，M2(3-4√3/3，2+√3)
②MN是对角线。G(3，4-√3)，FG中点(5/2，4-1/2√3)
∴M的纵坐标：8-√3，
∴8-√3=√3X+(4-2√3)，√3X=4+√3，
X=4√3/3+1
∴M3(4√3/3+1，8-√3)。
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