在三角形ABC中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 08:02:06
在三角形ABC中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.
在三角形ABC中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.
在三角形ABC中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.
设三边长分别为a=n,b=n+1,c=n+2,显然C最大,A最小,C=2A
作C的角平分线CD,交AB于D. ACD=BCD=A
CD角平分线,AC/BC=AD/BD(这个性质好证,延长CD和过D做AC,BC的高,根据SACD/SBCD即可)
所以可求BD=n(n+2)/(2n+1) AD=(n+1)(n+2)/(2n+1)
B=B CDB=A+ACD=ACB
所以ACB相似CDB
AC/CD=AB/BC 带入可得n*n-3n-4=0 n=-1舍去 n=4
即4 5 6
设三边长分别为n,n+1,n+2
最大角角度为2θ,最小角为θ
由余弦定理得
cosθ=((n+2)^2+(n+1)^2-n^2)/(2(n+2)(n+1))
cos2θ=(n^2+(n+1)^2-(n+2)^2)/(2n(n+1))
由二倍角定理可得
cos2θ=(cosθ)^2-1
接下来自己算吧,就一个未知数。。。
如图所示,设最小角为α,则最大角为2α,由三角形内角和为π,得剩余角为π-3α,且α<π-3α<2α,解得π/5<α<π/4;设此连续正整数三边长分别为n-1,n,n+1,由大边对大角,小边对小角可得,n+1对应角为2α,n-1对应角为α,由三角形内角和为π,得n对应角为π-3α。 由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r,得 (n+1)/sin2α=n/sin(π-3α)=(n-1)/sinα.整理,得 (n+1)/(n-1)=sin2α/sinα; n/(n-1)=sin3α/sinα. 由二倍角公式sin2α=2sinαcosα;三倍角公式sin3α=sinα(4cos²α-1),代入,得 (n+1)/(n-1)=2cosα…………①; n/(n-1)=4cos²α-1…………..②. ①两边平方,可得(n+1)²/(n-1)²=4cos²α.代入②式,解之,得 n=5.再代回①式,得cosα=3/4,α=arccos3/4,符合π/5<α<π/4. 故三角形三边长分别为4,5,6.