微积分,根式,函数怎样求根式函数的积分?比如这个：不用太快回答,暂时悬赏30分吧.我没想到会有那么多高手回答……可是最佳答案只有一个。

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微积分,根式,函数
怎样求根式函数的积分?
比如这个：


不用太快回答,
暂时悬赏30分吧.
我没想到会有那么多高手回答……
可是最佳答案只有一个。

微积分,根式,函数怎样求根式函数的积分?比如这个：不用太快回答,暂时悬赏30分吧.我没想到会有那么多高手回答……可是最佳答案只有一个。
根式函数,
当根式里面为1次函数时
f(x) = √(ax+b)
∫f(x)dx = ∫√(ax+b)dx = 1/a×∫√(ax+b)d(ax+b)
然后利用∫x^ndx = [x^(n+1)]/(n+1)+C
可得∫f(x)dx = ∫√(ax+b)dx = 1/a×∫√(ax+b)d(ax+b)
=2/3a×(ax+b)^(3/2) +C
当根式里面为2次函数时
f(x) = √(ax²+bx+c)
首先配方,化成f(x) =1/p×√[(x-t)²+s]的一般形式
这里系数1/p、常数t不影响积分过程,这里给出
标准形式
①f(x) = √(x²+a²) 令x=atanα,然后化简,对三角函数积分
②f(x) = √(x²-a²) 令x=asecα,然后化简,对三角函数积分
③f(x) = √(a²-x²) 令x=asinα,然后化简,对三角函数积分
这类及其他各种形式一般有积分表可查

一般都是做变量代换 如t=√(x-2) x=t²+2 dx=2tdt
∫√(x-2) dx=∫ t × 2tdt=∫ 2t²dt=(2/3)t³+C=(2/3)√(x-2)³+C
u=√(3x-1) x=(u²+1)/3 dx=2udu/3
∫√(3x-1) dx=∫ u × 2udu/3=∫ 2u²/3 dt=2u³/9+C=(2/9)√(3x-1)³+C

f(x)=√(x-2)=(x-2)^(1/2)
∫f(x)dx=∫(x-2)^(1/2)dx
令t=x-2,x=t+2,所以dx=dt
所以∫(x-2)^(1/2)dx
=∫t^(1/2)dt
=(2/3)*t^(3/2)+C
=(2/3)*(x-2)^(3/2)+C
同理可得：g(x)=√(3x-1)
令t=3x-1,所以x=(t+...

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f(x)=√(x-2)=(x-2)^(1/2)
∫f(x)dx=∫(x-2)^(1/2)dx
令t=x-2,x=t+2,所以dx=dt
所以∫(x-2)^(1/2)dx
=∫t^(1/2)dt
=(2/3)*t^(3/2)+C
=(2/3)*(x-2)^(3/2)+C
同理可得：g(x)=√(3x-1)
令t=3x-1,所以x=(t+1)/3
所以dx=dt/3
所以∫g(x)=∫t^(1/2)*(1/3)dt
=(1/3)*(2/3)*t^(3/2)+C
=(2/9)*(3x-1)^(3/2)+C

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答：
你说的根式函数不太对，其实是幂函数。
根号x就是x的二分之一次方，即√x=x^(1/2)。
所以f(x)=(x-2)^(1/2)，这个你应该会求了吧？
∫f(x)=2/3(x-2)^(3/2)+C；
∫g(x)=2/9(3x-1)^(3/2)+C.谢谢，我就是搞不懂如果根号里x的系数不是1时的积分怎么求。回复：
这是复合函数，(3x-1)'=3...

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答：
你说的根式函数不太对，其实是幂函数。
根号x就是x的二分之一次方，即√x=x^(1/2)。
所以f(x)=(x-2)^(1/2)，这个你应该会求了吧？
∫f(x)=2/3(x-2)^(3/2)+C；
∫g(x)=2/9(3x-1)^(3/2)+C.

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∫√（x-2）dx=∫√(x-2)d(x-2) =2/3(x-2)^(3/2) ∫√(3x-1)dx=1/3∫√(3x-1)d(3x-1) =1/3*2/3(3x-1) =2/9(3x-1)^(3/2)你答案对了，可是……我想要一般的解题方法。∫√(3x-1)dx=1/3∫√(3x-1)d(3x-1)这步就有些不理解了。
By the way：你为什么还是一级呢？看你的水平，应该很高了...

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∫√（x-2）dx=∫√(x-2)d(x-2) =2/3(x-2)^(3/2) ∫√(3x-1)dx=1/3∫√(3x-1)d(3x-1) =1/3*2/3(3x-1) =2/9(3x-1)^(3/2)

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