高中数学对任意x>0 比较f(x)=lnx与g(x)=0.5x+1/(2x)大小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 05:10:05
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高中数学对任意x>0 比较f(x)=lnx与g(x)=0.5x+1/(2x)大小
高中数学对任意x>0 比较f(x)=lnx与g(x)=0.5x+1/(2x)大小
高中数学对任意x>0 比较f(x)=lnx与g(x)=0.5x+1/(2x)大小
f(x)
fx-gx=....然后求导,得1/x+0.5-0.5/x^2,令导数为0,得x,然后就出来了
对任意x>0 比较f(x)=lnx与g(x)=0.5x+1/(2x)大小
设F(x)=g(x)-f(x)=x/2+1/(2x)-lnx
F′(x)=1/2-1/(2x²)-1/x=(x²-2x-1)/(2x²)=[(x-1)²-2]/2x²=[(x-1+√2)(x-1-√2)]/2x²
=[x-(1-√2)][x...
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对任意x>0 比较f(x)=lnx与g(x)=0.5x+1/(2x)大小
设F(x)=g(x)-f(x)=x/2+1/(2x)-lnx
F′(x)=1/2-1/(2x²)-1/x=(x²-2x-1)/(2x²)=[(x-1)²-2]/2x²=[(x-1+√2)(x-1-√2)]/2x²
=[x-(1-√2)][x-(1+√2)]/2x²
故当0
即在区间(0,1+√2)内F(x)是减函数;在区间[1+√2,+∞)内F(x)是增函数。
由于极小值F(1+√2)=(1+√2)/2+1/[2(1+√2)-ln(1+√2)=(1+√2)/2+(√2-1)/2-ln(1+√2)
=√2-ln(1+√2)>√2-lne=√2-1>0,故对任意的x>0,恒有g(x)>f(x).
收起
设函数F(x)=f(x)-g(x)=lnx-0.5x-1/(2x)
F(x)的导数为1/x-0.5+1/2x^2
令F(x)的导数为零解得x=1+根号2
当x=1+根号2时函数有最大值,ln(1+根号2)-根号2<0
所以,对任意的x>0,多有F(X)<0
所以,f(x)