P、Q、M、N四点都在椭圆x²+y²/2=1上,F为y轴正半轴上的焦点,已知PF与FQ共线,MF与FN共线,且PFPMQN面积的最小值和最大值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 22:21:51
![P、Q、M、N四点都在椭圆x²+y²/2=1上,F为y轴正半轴上的焦点,已知PF与FQ共线,MF与FN共线,且PFPMQN面积的最小值和最大值.](/uploads/image/z/962819-35-9.jpg?t=P%E3%80%81Q%E3%80%81M%E3%80%81N%E5%9B%9B%E7%82%B9%E9%83%BD%E5%9C%A8%E6%A4%AD%E5%9C%86x%26sup2%3B%2By%26sup2%3B%2F2%3D1%E4%B8%8A%2CF%E4%B8%BAy%E8%BD%B4%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5PF%E4%B8%8EFQ%E5%85%B1%E7%BA%BF%2CMF%E4%B8%8EFN%E5%85%B1%E7%BA%BF%2C%E4%B8%94PFPMQN%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E5%92%8C%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC.)
P、Q、M、N四点都在椭圆x²+y²/2=1上,F为y轴正半轴上的焦点,已知PF与FQ共线,MF与FN共线,且PFPMQN面积的最小值和最大值.
P、Q、M、N四点都在椭圆x²+y²/2=1上,F为y轴正半轴上的焦点,已知PF与FQ共线,MF与FN共线,且PF
PMQN面积的最小值和最大值.
P、Q、M、N四点都在椭圆x²+y²/2=1上,F为y轴正半轴上的焦点,已知PF与FQ共线,MF与FN共线,且PFPMQN面积的最小值和最大值.
向量PF与向量PQ共线,向量PF*向量MF=0
则P、Q、F在同一直线上,PF⊥MF
设过F的直线方程PQ为x=ky-k 则MN为x=-y/k+y/k P(x1,y1) Q(x2,y2) M(x3,y3) N(x4,y4)
联立PQ和椭圆方程得(2k^2+1)y^2-4k^2y+2k^2-2=0 则 y1+y2=-b/a=4k^2/(2k^2+1)
联立MN和椭圆方程得(k^2+2)y^2-4y+2-2k^2=0 则y3+y4=-b/a=4/(k^2+2)
椭圆上的点到上焦点的距离=(c/a)d=√2/2,其中d为该点到上准线的距离即y=a^2/c=2
PQ=(√2/2)*(2-y1+2-y2)=2√2(k^2+1)/(2k^2+1)
MN=(√2/2)*(2-y3+2-y4)=2√2(k^2+1)/(k^2+2)
S=PQ*MN/2=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)]=4/9[(2k^2+1)/(k^2+2)+(k^2+2)/(2k^2+1)+2]
≥4/9(2+2)=16/9当且仅当2k^2+1=k^2+2即k^2=1时取等号
【利用了3(k^2+1)=(2k^2+1)+(k^2+2)】
S最小值为16/9
当PQ、MN分别为椭圆的长轴和短轴时,面积最大S=2a*2b/2=2√2
ds