P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FNP,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 23:44:38
![P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FNP,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向](/uploads/image/z/962820-36-0.jpg?t=P%2CQ%2CM%2CN%E5%9B%9B%E7%82%B9%E9%83%BD%E5%9C%A8%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2By%5E%2F2%3D1%E4%B8%8A%2CF%E4%B8%BA%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%9C%A8y%E8%BD%B4%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8FPF%E4%B8%8E%E5%90%91%E9%87%8FFQ%E5%85%B1%E7%BA%BF%2C%E5%90%91%E9%87%8FMF%E4%B8%8E%E5%90%91%E9%87%8FFNP%2CQ%2CM%2CN%E5%9B%9B%E7%82%B9%E9%83%BD%E5%9C%A8%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2By%5E%2F2%3D1%E4%B8%8A%EF%BC%8CF%E4%B8%BA%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%9C%A8y%E8%BD%B4%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8FPF%E4%B8%8E%E5%90%91%E9%87%8FFQ%E5%85%B1%E7%BA%BF%EF%BC%8C%E5%90%91)
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P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FNP,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向
P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FN
P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FN共线,且向量PF与向量MF的数量积为0,求四边形PMQN的面积的最大值和最小值。
P,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向量MF与向量FNP,Q,M,N四点都在椭圆x^2+y^/2=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知向量PF与向量FQ共线,向
向量PF与向量PQ共线,向量PF*向量MF=0
则P、Q、F在同一直线上,PF⊥MF
设过F的直线方程PQ为x=ky-k 则MN为x=-y/k+y/k P(x1,y1) Q(x2,y2) M(x3,y3) N(x4,y4)
联立PQ和椭圆方程得(2k^2+1)y^2-4k^2y+2k^2-2=0 则 y1+y2=-b/a=4k^2/(2k^2+1)
联立MN和椭圆方程得(k^2+2)y^2-4y+2-2k^2=0 则y3+y4=-b/a=4/(k^2+2)
椭圆上的点到上焦点的距离=(c/a)d=√2/2, 其中d为该点到上准线的距离即y=a^2/c=2
PQ=(√2/2)*(2-y1+2-y2)=2√2(k^2+1)/(2k^2+1)
MN=(√2/2)*(2-y3+2-y4)=2√2(k^2+1)/(k^2+2)
S=PQ*MN/2=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)]=4/9[(2k^2+1)/(k^2+2)+(k^2+2)/(2k^2+1)+2]
≥4/9(2+2)=16/9当且仅当2k^2+1=k^2+2即k^2=1时取等号
【利用了3(k^2+1)=(2k^2+1)+(k^2+2)】
S最小值为16/9
当PQ、MN分别为椭圆的长轴和短轴时,面积最大S=2a*2b/2=2√2
∵
PF
•
MF
=0⇒
PF
⊥
MF
.即MN⊥PQ.
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时,另一条直线必垂直于y轴.
不妨设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴,
∵F(0,1)
∴MN的方程为:...
全部展开
∵
PF
•
MF
=0⇒
PF
⊥
MF
.即MN⊥PQ.
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时,另一条直线必垂直于y轴.
不妨设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴,
∵F(0,1)
∴MN的方程为:y=1,PQ的方程为:x=0
分别代入椭圆x2+
y2
2
=1中得:|MN|=
2
,|PQ|=2
2
.
S四边形PMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=
1
2
×
2
×2
2
=2
当MN,PQ都不与坐标轴垂直时,
设MN的方程为y=kx+1(k≠0),
代入椭圆x2+
y2
2
=1中得:(k2+2)x2+2kx-1=0,
∴x1+x2=-
2k
k2+2
,x1•x2=-
1
k2+2
∴|MN|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[(2kk2+2)2+4k2+2]
=
22(1+k2)
k2+2
同理可得:|PQ|=
22(1+k2)
2k2+1
,
S四边形PMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=2×
2k4+4k2+1
2k4+5k2+2
=2(1-
k2
2k4+5k2+2
)=2(1-
1
2(k2+1/k2)+5
)≥
16
9
(当且仅当k2=
1
k2
即k=±1时,取等号).
又S四边形PMQN=2(1-
k2
2k4+5k2+2
)<2,∴此时
16
9
≤S四边形PMQN<2.
综上可知:(S四边形PMQN)max=2,(S四边形PMQN)min=
16
9 .
收起