已知x^2+y^2=z^2,求证:xyz是60的倍数.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/02 21:31:39
已知x^2+y^2=z^2,求证:xyz是60的倍数.
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已知x^2+y^2=z^2,求证:xyz是60的倍数.
已知x^2+y^2=z^2,求证:xyz是60的倍数.

已知x^2+y^2=z^2,求证:xyz是60的倍数.
(1)如果x、y、z 都不是 3 的倍数,则由 (3k±1)^2=3(3k^2±2k)+1 知,x^2、y^2、z^2 被 3 除都余 1 ,等式左边被 3 除余 2 ,右边被 3 除余 1 ,矛盾,
因此 3|xyz ;
(2)由等式可知,x、y、z 不可能都是奇数;
如果 z 是偶数,假如 x、y 是奇数,则左边模 4 余2 ,右边模 4 余 0 ,所以如果 z 是偶数,则 x、y 都是偶数;
不妨设 x 为偶数,y、z 为奇数.则由 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 知,y^2、z^2 模 8 余 1 ,
因此 x^2=z^2-y^2 中,右边是 8 的倍数,所以 x 必是 4 的倍数 ,
所以,总有 4|xyz ;
(3)因为 (5k±1)^2=5(5k^2±2k)+1 ,(5k±2)^2=5(5k^2±4k)+4 ,
所以,如果 x、y、z 都不是 5 的倍数,则等式左边模 5 余 2 或 0 或 8 ,右边模 5 余 1 或 4 ,
等式不可能成立,因此 5|xyz ;
综上可得 60|xyz .