1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:27:36
1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少
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1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少
1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少

1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时,
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

n(n+1)(n+2)(n+3)+1等于多少 若n等于1或-1,求n-2n+3n-4n+…+49n的值 n(n+1)(n+2)等于多少? 化简1/2!+2/3!+3/4!……+n-1/n!n大于等于2n属于N* Lim(1/n^3 +2^2/n^3 +3^2/n^3+…+n^2/n^3)等于 1+2+3+4+……+(n-1)为什么等于n（n-1）／2 ((n^2+3n)^(1/2))-n n ----> ∞ 等于 错了。等于-∞ 1+3+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)等于几 lim[1+3+5+…+(2n-1)/[n(2n-1)]等于多少? -1,4,-7,10…(-1)^n(3n-2)的前n项和等于 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n-2)+C(n,n-1)+C(n,n)为什么等于什么 (n-3)(n-2)(n-4)等于120 求n +(n-1)!+(n-2)!+.+(n-n)!等于什么? (a＋b)^n — a^n 怎么等于n*a^(n-1)*b+n*(n-1)/2!*a^(n-2)*b^2+……+b^n lim[1^n+2^n+3^n]^(1/n)等于多少n→无穷 能否证下n/(n^2+1) > ln((n+1)/n) (n大于或等于3) 用数学归纳法证明：n大于等于2,n 属于N,1/2^2+a/3^2+……+1/n^2小于（n-1）/n 2^n-2^(n-1)等于多少