设f(x)在[a,b]上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有∫(a－b)f(x)g(x)dx=0.证明：在[a,b]上有f(x)恒等于0.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/12 10:05:16
设f(x)在[a,b]上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有∫(a－b)f(x)g(x)dx=0.证明：在[a,b]上有f(x)恒等于0.
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设f(x)在[a,b]上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有∫(a－b)f(x)g(x)dx=0.证明：在[a,b]上有f(x)恒等于0.
设f(x)在[a,b]上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有∫(a－b)f(x)g(x)dx=0.证明：在[a,b]上有f(x)恒等于0.

设f(x)在[a,b]上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有∫(a－b)f(x)g(x)dx=0.证明：在[a,b]上有f(x)恒等于0.
用反证法,基本思想是构造一个g(x),得到矛盾
参考资料上有详细公式

本题可以用反证法：
你可以假定在[a,b]上有f(x)有一点不为零（该点可定为a），假定该点的函数值是大于0的。
那么肯定存在一个包含该点的区间（c,d)使得f(x)是恒大于0的。
然后你总能找到一个g(x)满足g(a)=g(b)=0且使得积分是不等于0的，（这个g(x)可以这样找那就是在区间[a,b]内且在区间（c,d)外的所有点都为0，在（c,d)上恒大于0...

全部展开

本题可以用反证法：
你可以假定在[a,b]上有f(x)有一点不为零（该点可定为a），假定该点的函数值是大于0的。
那么肯定存在一个包含该点的区间（c,d)使得f(x)是恒大于0的。
然后你总能找到一个g(x)满足g(a)=g(b)=0且使得积分是不等于0的，（这个g(x)可以这样找那就是在区间[a,b]内且在区间（c,d)外的所有点都为0，在（c,d)上恒大于0的函数，那么你的积分
∫(a－b)f(x)g(x)dx并不等于0，而是大于0，这就与已知矛盾了，所以假设不成立
那么在[a,b]上有f(x)恒等于0

收起

设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且f'(x) 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) 设f(x)在[a,b]上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有∫(a－b)f(x)g(x)dx=0.证明：在[a,b]上有f(x)恒等于0. 证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续. 设f(x)在闭区间（a,b)上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且没有零点,证明f(x)在[a,b]上保号 微积分 定积分证明 “设f(x)为正,且在[a,b]上连续...” 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2) 设f(x) 在[a,b] 上连续,且f(x)>0.求证:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^2.