初三几何竞赛题四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB,CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交与点P、Q.若MF·CD=NF·AB且DQ·BP=AQ·CP.求证PQ⊥BC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/09 01:45:43
![初三几何竞赛题四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB,CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交与点P、Q.若MF·CD=NF·AB且DQ·BP=AQ·CP.求证PQ⊥BC](/uploads/image/z/10734034-58-4.jpg?t=%E5%88%9D%E4%B8%89%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E9%A2%98%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E4%B8%8EBD%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2C%E8%BE%B9AB%2CCD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%9E%82%E7%BA%BF%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2C%E7%82%B9M%E3%80%81N%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E8%BE%B9AB%E3%80%81CD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFEF%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%8E%E8%BE%B9BC%E3%80%81AD%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%B8%8E%E7%82%B9P%E3%80%81Q.%E8%8B%A5MF%C2%B7CD%3DNF%C2%B7AB%E4%B8%94DQ%C2%B7BP%3DAQ%C2%B7CP.%E6%B1%82%E8%AF%81PQ%E2%8A%A5BC)
初三几何竞赛题四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB,CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交与点P、Q.若MF·CD=NF·AB且DQ·BP=AQ·CP.求证PQ⊥BC
初三几何竞赛题
四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB,CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交与点P、Q.若MF·CD=NF·AB且DQ·BP=AQ·CP.求证PQ⊥BC
初三几何竞赛题四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB,CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交与点P、Q.若MF·CD=NF·AB且DQ·BP=AQ·CP.求证PQ⊥BC
连接AF、BF、DF、CF,∵点M、N分别为边AB、CD的中点,MF⊥AB,NF⊥CD,∴△AFB和△CFD为等腰△,AF=BF,DF=CF,∵MF·CD=NF·AB,MF/NF=AB/CD=AM/DN,∠AMF=∠DNF=90°,∴△AMF∽△DNF,同理可证:△BMF∽△CNF,则△AFB∽△CFD,∴∠AFB=∠CFD,∵∠BFD=∠AFB+∠AFD,∠AFC=∠CFD+∠AFD,∴∠BFD=∠AFC,∵AF=BF,DF=CF,∴△BFD≌△AFC,∴AC=BD,∠FAC=∠FBD,∠AEB=∠AFB,则A、E、F、B四点共圆,∠BAF=∠BEF,同理可证D、E、F、C四点共圆,∠CDF=∠CEF,∵∠BAF=∠CDF,∴∠BEF=∠CEF,则PQ为∠BEC的角平分线,AE/ED=AQ/QD,BP/CP=BE/EC,∵DQ·BP=AQ·CP,AQ/QD=BP/CP,∴AE/ED=BE/EC,∵∠AED和∠BEC为对顶角,∴△AED∽△BEC,∠DAC=∠DBC,∠ADB=∠ACB,则A、B、C、D四点共圆,∵AC=BD,∴∠BAD=∠ADC,∵∠ABD=∠DCA,∴△ABD≌△DCA,∴AB=CD,∠ACB=∠DBC,△BEC为等腰△,∴PQ⊥BC.