圆与方程..设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 02:27:29
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圆与方程..设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
圆与方程..
设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.
(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
圆与方程..设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
(1)
设:C(a,b),因为圆交x轴于E点,同时交y轴于E点,则圆经过坐标原点(O,0)于是:EC为圆半径:EC=√(a²+b²)
圆方程:(x-a)²+(y-b)²=a²+b²
分别令x=0,y=0,求出点B坐标(0,2b),点A坐标(2a,0)
过AB的直线方程为:x/2a +y/2b=1
可知:圆心C(a,b)在直线AB上.
于是四边形EACB实际就是三角形AEB,其面积为:2a*2b/2=2ab
又C在y=2/x上,b=2/a
代入面积2ab=2a*(2/a)=4
(2)
由(1)知:EC为圆半径, 而MN为圆上两点,则MN为圆C的弦,且|EM|=|EN|,
于是:EC⊥MN, MN的斜率为:-2, 则:EC的斜率为:1/2
于是:(b-0)/(a-0)=1/2
b/a=1/2
由(1)知:b=2/a
联立上面两式求得:a=2,b=1,
于是圆的方程为:(x-2)²+(y-1)²=5
由题意可得E点是在原点,则BC、CA是半径,这个图在这儿画不出来,自己画吧。假设圆心C(x,2/x),过C点做AE的高交于H点,过C点再做BE的高交于F点,这个四边形的面积可以看成是梯形BEHC与三角形CHA的面积之和,因为EH=x,CH=2/x,则半径BC=CE=CA=根号下x平方+2/X平方,所以BE=2倍开根号下CE的平方-CF的平方,得BE=4/x,所以,面积=(2/x+4/x)*x/2+...
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由题意可得E点是在原点,则BC、CA是半径,这个图在这儿画不出来,自己画吧。假设圆心C(x,2/x),过C点做AE的高交于H点,过C点再做BE的高交于F点,这个四边形的面积可以看成是梯形BEHC与三角形CHA的面积之和,因为EH=x,CH=2/x,则半径BC=CE=CA=根号下x平方+2/X平方,所以BE=2倍开根号下CE的平方-CF的平方,得BE=4/x,所以,面积=(2/x+4/x)*x/2+x*2/x/2=4
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