在数列an中,a1=1,an=2an-1 + n+2/n(n+1),(n大于等于2,n属于正整数),猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/29 18:16:41
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在数列an中,a1=1,an=2an-1 + n+2/n(n+1),(n大于等于2,n属于正整数),猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想
在数列an中,a1=1,an=2an-1 + n+2/n(n+1),(n大于等于2,n属于正整数),猜想an的通项公式,并用数学归纳法
证明你的猜想
在数列an中,a1=1,an=2an-1 + n+2/n(n+1),(n大于等于2,n属于正整数),猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想
可能是猜想比较困难.
先计算:a1=1,a2=8/3=3- 1/3,a3=23/4=6- 1/4,a4=59/5=12-1/5,… ,
猜想:an=3×2^(n-2) - 1/(n+1) ……………………………… (1)
证明:n=1时,由(1)计算得:a1=3/2-1/2=1,与已知相符,即(1)式成立.
假设 n=k 时(1)式成立,有ak=3×2^k(k-2)-1/(k+1),
那么 n=k+1 时,由已知 an=2an-1 + (n+2)/n(n+1)
可得 a(k+1)=2ak + (k+1+2)/(k+1)(k+2),再代入归纳假设:
a(k+1)=3×2^(k-1)-2/(k+1) + (k+1+2)/(k+1)(k+2)
=3×2^(k-1) + (-2k-4+k+3)/(k+1)(k+2)
=3×2^(k-1)-2/(k+2)=3×2^[(k+1)-2] - 2/[(k+1)+1]
即:n=k+1 时,(1)式也成立.
综上可知,an=3×2^(n-2) - 1/(n+1)成立.
不用数学归纳法也可以:
由 an=2an-1 + (n+2)/n(n+1)=2an-1 + 2/n - 1/(n+1)
得 an + 1/(n+1)=2(an-1 + 1/n)
于是 数列{an + 1/(n+1)}是等比数列.以下略.
“2/n(n+1)”中分母是什么,分子是什么?
你打清楚点,否则我无法帮你解决问题。