数学圆与直线的一道题已知圆O:x^2+y^2=1和点M(4,2)(1)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的圆oM的方程.(2)设P为(1)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否一定存在
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 16:45:17
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数学圆与直线的一道题已知圆O:x^2+y^2=1和点M(4,2)(1)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的圆oM的方程.(2)设P为(1)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否一定存在
数学圆与直线的一道题
已知圆O:x^2+y^2=1和点M(4,2)
(1)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的圆oM的方程.
(2)设P为(1)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否一定存在点R,使得PQ/PR为定值?
数学圆与直线的一道题已知圆O:x^2+y^2=1和点M(4,2)(1)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的圆oM的方程.(2)设P为(1)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否一定存在
首先,直线方程应是y=2x-1,它被截弦长等于4应是被圆M所截,因圆O直径仅为2;
从M向圆M作垂线,求得两者距离,圆M的半径与该距离及半弦长构成直角三角形:
点线距离:d^2=(y-2x+1)^2/(2^2+1)=(2^2-2*4+1)^2/5=9/5;
R^2=d^2+(4/2)^2=9/5+4=29/4;
圆M方程:(X-4)^2+(y-2)^2=29/4;
若P(x,y)是圆M上任一点,则点P到圆O的切线长(平方)为:x^2+y^2-1;
设若存在一点R(m,n),使PQ/PR=1/√k为定值,则有如下关系式:(x-m)^2+(y-n)^2=k(x^2+y^2-1);
展开:[(1-k)x^2-2mx+m^2]+[(1-k)y^2-2ny+n^2]+1=0;
化简:(1-k)*[x-(m/(1-k))]^2+(1-k)*[y-(n/(1-k))]^2=-m^2+m^2/(1-k)-n^2+n^2/(1-k)-1;
上式类似圆的坐标方程,若右端数值不小于0,则点R存在;
-m^2+m^2/(1-k)-n^2+n^2/(1-k)-1≧0
m^2+n^2≧(1-k)/k;
上式当1-k≧0时m、n有实数解,即只要PQ/PR≧1,平面内就存在点R(m,n)满足要求