作业帮已知a≥1/2,函数f(x)=-a^2x^2+ax+c(a,c∈R)(1)对x∈[0,1],均有f(x)≤1成立,则c的取值范围是?(2)已知关于x的实系数二次方程f（x）=0有两个实数根α,β,证明：|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤a^2-a.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/05 16:58:26
![已知a≥1/2,函数f(x)=-a^2x^2+ax+c(a,c∈R)(1)对x∈[0,1],均有f(x)≤1成立,则c的取值范围是?(2)已知关于x的实系数二次方程f（x）=0有两个实数根α,β,证明：|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤a^2-a.](/uploads/image/z/11527965-45-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%E2%89%A51%2F2%2C%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D-a%5E2x%5E2%2Bax%2Bc%28a%2Cc%E2%88%88R%29%281%29%E5%AF%B9x%E2%88%88%5B0%2C1%5D%2C%E5%9D%87%E6%9C%89f%28x%29%E2%89%A41%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E5%88%99c%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%E6%98%AF%3F%282%29%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E5%AE%9E%E7%B3%BB%E6%95%B0%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%EF%BC%88x%EF%BC%89%3D0%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%CE%B1%2C%CE%B2%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%7C%CE%B1%7C%E2%89%A41%2C%E4%B8%94%7C%CE%B2%7C%E2%89%A41%E7%9A%84%E5%85%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%98%AFc%E2%89%A4a%5E2-a.)
已知a≥1/2,函数f(x)=-a^2x^2+ax+c(a,c∈R)(1)对x∈[0,1],均有f(x)≤1成立,则c的取值范围是?(2)已知关于x的实系数二次方程f（x）=0有两个实数根α,β,证明：|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤a^2-a.
已知a≥1/2,函数f(x)=-a^2x^2+ax+c(a,c∈R)
(1)对x∈[0,1],均有f(x)≤1成立,则c的取值范围是?
(2)已知关于x的实系数二次方程f（x）=0有两个实数根α,β,证明：|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤a^2-a.
已知a≥1/2,函数f(x)=-a^2x^2+ax+c(a,c∈R)(1)对x∈[0,1],均有f(x)≤1成立,则c的取值范围是?(2)已知关于x的实系数二次方程f（x）=0有两个实数根α,β,证明：|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤a^2-a.
(1) f(x)≤1<===>c≤a²[x-1/(2a)]²+(3/4)对x∈[0,1]恒成立.
∵ a≥1/2, ∴ 0<1/(2a)≤1, 对称轴x=1/(2a)∈[0,1],
∴ 函数t=g(x)=a²[x-1/(2a)]²+(3/4)有最小值=g(1/(2a))=3/4,
∴ c≤3/4
(2) ∵ c≤3/4...
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(1) f(x)≤1<===>c≤a²[x-1/(2a)]²+(3/4)对x∈[0,1]恒成立.
∵ a≥1/2, ∴ 0<1/(2a)≤1, 对称轴x=1/(2a)∈[0,1],
∴ 函数t=g(x)=a²[x-1/(2a)]²+(3/4)有最小值=g(1/(2a))=3/4,
∴ c≤3/4
(2) ∵ c≤3/4, ∴ f(x)=-a²x²+ax+c≤-a²x²+ax+(3/4)=-a²[x+1/(2a)]²+1≤1, 即f(x)≤1 .
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