求高手!函数项级数∑(n从0到∞)(-1)^n(1-x)x^n在[0,1]上是否一致收敛?是否绝对函数项级数∑(n从0到∞)(-1)^n(1-x)x^n在[0,1]上是否一致收敛?是否绝对收敛?是否绝对一致收敛?说明理由

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/27 09:48:51
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求高手!函数项级数∑(n从0到∞)(-1)^n(1-x)x^n在[0,1]上是否一致收敛?是否绝对
函数项级数∑(n从0到∞)(-1)^n(1-x)x^n在[0,1]上是否一致收敛?是否绝对收敛?是否绝对一致收敛?说明理由

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首先要确认一下,和式(∑)中的n应该是从1到∞吧.如果n=0且x=0,幂0^0是没有意义的;况且级数的首项都是从n=1表示的.
显然这个函数项级数是交错级数
令An=(1-x)x^n
则∑(-1)^n(1-x)x^n=-A1+A2-A3+A4+...(n=1→∞)
因0≤x≤1,易知1-x≥0,x^n≥0
则(1-x)x^n≥(1-x)x^n*x=(1-x)x^(n+1)
即An≥A(n+1)
而limAn=lim(1-x)x^n=(1-x)limx^n=(1-x)*0=0(n→∞)
由莱布尼滋定理知级数∑(-1)^n(1-x)x^n收敛于和S,且S≤A1=(1-x)x
因∑|(-1)^n(1-x)x^n|=∑(1-x)x^n=(1-x)∑x^n(n=1→∞)
当0≤x

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