已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证PA2=PB*PC+AB2.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/05 09:51:36
已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证PA2=PB*PC+AB2.
已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证
PA2=PB*PC+AB2.
已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证PA2=PB*PC+AB2.
证明:
因为AB=AC
所以∠APB=∠APC,
因为PC所对的圆周角为∠PAC和∠PBC
所以∠PAC=∠BPC
所以△PAC∽△PBD
所以PA/PB=PC/PD,
即PB*PC=PA*PD
所以PA^2-PB*PC=PA^2-PA*PD=PA*(PA-PD)=PA*AD,
因为AB=AC
所以∠APC=∠ACB
又∠CAP为公共角
所以△APC∽△ACD
所以AP/AC=AC/AD
即AC^2=AP*AD,
又PA^2-PB*PC=PA*PD
所以PA^2-PB*PC=AC^2
PA2和AB2是什么意思?
分析:由已知我们分析待证结论中的边对应的线段,并将其归结到相应的三角形中,我们要证明结论,可以证明相应的三角形相似,由已知条件我们不难证明,△ABP∽△ADB且△BPD∽△APC根据相似三角形对应边成比例,及已知中线段之间的等量关系,我们不难得到结论. 证明:在△ABP和△ADB中, ∠BAP=∠DAB为公用角, 又∠APB=∠ACB=∠ABD=60° △ABP∽△ADB, AB²=PA•AD(1) 同理可证△BPD∽△APC, PB /PD =PA /PC , ∴PB•PC=PA•PD(2) (1)+(2),得 AB²+PB•PC=PA(AD+PD)=PA², ∴PA²=AB²+PB•PC.
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∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
又∠ACB=∠APB,∠ABC=∠APC,∴∠ABC=∠APB=∠APB=∠ACB,
又∠BAD=∠BAP,
∴ΔABD∽ΔAPB,∴AB/AD=PA/AB,
∴AB^2=AD*PA,……①
∵∠APB=∠ACD=∠APC,∠PAC=∠PBC,
∴ΔAPC∽ΔBPD,∴PA/PB=PC/...
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∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
又∠ACB=∠APB,∠ABC=∠APC,∴∠ABC=∠APB=∠APB=∠ACB,
又∠BAD=∠BAP,
∴ΔABD∽ΔAPB,∴AB/AD=PA/AB,
∴AB^2=AD*PA,……①
∵∠APB=∠ACD=∠APC,∠PAC=∠PBC,
∴ΔAPC∽ΔBPD,∴PA/PB=PC/PD,
∴PB*PC=PA*PD,……②
①+②得:AB^2+PB*PC=PA(AD+PD)=PA^2。
即PA^2=AB^2+PB*PC。
收起
AB=AC
∠ABC=∠ACB=∠APB=∠APC
∠DAB=∠BAP
△DAB∽△BAP
AD:AB=AB:AP
AB^2=AD*AP
∠APB=∠APC,
∠PBD=∠PAC,
△PBD∽△PAC
PB:PD=PA:PC
PB*PC=PA*PD
AB^2+PB*PC=AD*AP+PA*PD=AP^2