以长为2a的线段AB为直径作半圆,则它的内接梯形ABCD的面积的最大值为多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/11 21:30:06
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以长为2a的线段AB为直径作半圆,则它的内接梯形ABCD的面积的最大值为多少?
以长为2a的线段AB为直径作半圆,则它的内接梯形ABCD的面积的最大值为多少?
以长为2a的线段AB为直径作半圆,则它的内接梯形ABCD的面积的最大值为多少?
因为以AB为底,则该梯形为等腰梯形,以圆心做梯形高,设高为h
上底为 2sqrt(a^2 - h^2),下底为2a
面积S = (sqrt(a^2 - h^2) + a)*h
对面积求导,找出面积的斜率方程,用于找出极大值(后话)
S' = (sqrt(a^2 - h^2) + a) + (-2h)/(2*sqrt(a^2 - h^2)) * h
S' = (sqrt(a^2 - h^2) + a) - (h^2)/(sqrt(a^2 - h^2))
当斜率=0时,有极值
令S' = 0
sqrt(a^2 - h^2) + a = (h^2)/(sqrt(a^2 - h^2))
通分把分母上的sqrt(a^2 - h^2)约去
a^2 - h^2 + a(sqrt(a^2 - h^2)) = h^2
a(sqrt(a^2 - h^2)) = 2h^2 - a^2
2边平方
a^2(a^2 - h^2) = 4h^4 - 4h^2a^a + a^4
4h^4 = 3h^2a^2
h^2 = 3a^2/4 h = ((根号3)/2)a
把h^2带入面积方程S = (sqrt(a^2 - h^2) + a)*h
S = (sqrt(a^2 - 3a^2/4) +a)*((根号3)/2)a
S = 3/2 a * ((根号3)/2)a
面积为(3根号3)/4*a^2
高二导数问题高二导数问题高二导数问题高二导数问题