已知正实数a b c d 满足ab+cd=12(a^2+b^2+c^2+d^2)≤(a^2+b^2)/ab+(c^2+d^2)/cd是否成立,如果是请证明,如果不是,举出反例

已知正实数a b c d 满足ab+cd=12(a^2+b^2+c^2+d^2)≤(a^2+b^2)/ab+(c^2+d^2)/cd是否成立,如果是请证明,如果不是,举出反例
已知正实数a b c d 满足ab+cd=1
2(a^2+b^2+c^2+d^2)≤(a^2+b^2)/ab+(c^2+d^2)/cd是否成立,如果是请证明,如果不是,举出反例

已知正实数a b c d 满足ab+cd=12(a^2+b^2+c^2+d^2)≤(a^2+b^2)/ab+(c^2+d^2)/cd是否成立,如果是请证明,如果不是,举出反例
将等式右边乘以（ab+cd）其值不变,变化原不等式为
a^2+b^2+c^2+d^2 ≤(a^2+b^2)*cd/ab+(c^2+d^2)*ab/cd
将不等式左边移到右边,提取公因式,可以有
0 ≤ ( (a^2+b^2)/ab - (c^2+d^2)/cd ) * (cd-ab)
假定ab>cd,观察(a^2+b^2)/ab - (c^2+d^2)/cd (1)是否恒大于0(显然不是)
式一的正负主要取决于a/b与c/d的比值大小,而ab+cd=1是限定不了的（即便ab>cd,a/b也不一定大于c/d）
故此,原不等式不会恒成立,反之亦然.
验证此不等式,可以取a=1/4,b=1,c=3/4,d=1,左边=21/4,右边=19/3,成立
取a=1/2,b=1/2,c=3/4,d=1,左边=49/8,右边=49/12,不成立

嗯…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

全部展开

嗯………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

收起

错的
取a=1，b=3/4, c=d=1/2
带进去算一下就可以了

错的
取a=1，b=3/4, c=d=1/2

不等式不成立，例如取a=b=5/9,c=7/9,d=8/9。相反，反向不等式应该成立。

化简了之后
a^2+b^2/c^2+c^2≤-(1+cd/1+ab）
因为是正实数，所以左右两边都是不等的。

其实这里用到了一个柯西不等式的分式变形，我觉得是成立的啊。公式是这样的（a^2+b^2)/(c+d)+(e^2+b^2)/(h+i)>=(a+b+c+d)^2/(c+d+h+i).因为abcd都是正的，又有ab+cd=1，很容易证的啦。好啦，有兴趣自己证下嘛，不难的

答案是2 过程如下设你那一大堆为x, 显然x=根号下（2+x）解这个无理方程得x=2 你是教师吗？顺便问问 分析：这是一个很典型的不等式问题，下面