若f(x)在R上为增函数,f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的什么条件?证明你的结论
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/02 20:18:35
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若f(x)在R上为增函数,f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的什么条件?证明你的结论
若f(x)在R上为增函数,f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的什么条件?证明你的结论
若f(x)在R上为增函数,f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的什么条件?证明你的结论
若f(x)在R上为增函数,则 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的充分必要条件.
证:
一. 必要性的证明.
f(x)在R上为增函数,f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 意味着a,b 中,至少一个为正.
不失一般性,设a>0.
如b>0, 则 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 成立.
如b0 --> b>-a --> f(b)>f(-a) (1)
且因 b f(a)>f(-b) (2)
(1)+(2) --> f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 成立.
也就是说,由 a+b>0 可得出 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
即:f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 是 a+b>0 的必要条件. 必要性得证!
二. 充分性的证明.
f(x)在R上为增函数. 设f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)对一切a,b成立.
令 a=0 --> f(0)+f(b)>f(0)+f(-b) --> f(b)>f(-b) --> b>0 (3)
令 b=0 --> f(a)+f(0)>f(a)+f(0) --> f(a)>f(-a) --> a>0 (4)
(3)+(4) --> a+b>0
即:f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 是 a+b>0 的充分条件. 充分性得证!