作业帮一道椭圆题.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/21 10:30:36
一道椭圆题.
一道椭圆题.
一道椭圆题.
（1）P,Q的横坐标为x=-c
于是代进去椭圆方程x²/a²+y²/b²=1即
c²/a²+y²/b²=1
整理就是
y²=b²（1-c²/a²）=b²（a²-c²）/a²=b²×b²/a²=b^4/a²
于是解得
y=±b²/a
于是PQ=2|b²/a|=2b²/a=4/√3
也就是 b²=2a/√3 ①
还有对于△F1MF2的底恒为F1F2=2c,只有当高最大,面积才最大
也就是高等于b的时候面积就最大
于是
2c×b÷2=√2
于是就有cb=√2 ②
还有a²=b²+c² ③
联立①②③解得
a=√3,b=√2,c=1
【实不相瞒,那方程还真不好解,于是我看见cb=√2,于是邪心一起,就试试的心态,让b=√2,c=1,结果成功了】
于是
a²=3,b²=2
椭圆方程为
x²/3+y²/2=1
(2)对于|AB|∈【4,√19】
当AB=4从下图知道直线AB倾斜角=90°
当AB=√19从下图知道直线AB倾斜角=30°
于是题目就变成
求对于过F1的直线与椭圆相交于PQ两点,求△F2PQ面积的范围,其中倾斜角范围为【30°,90°】
那就设直线PQ为my=（x+1),1/tan90°≤m≤1/tan30°即0≤m≤√3
还有
于是S△F2PQ=|y1-y2|=√【（y1+y2）²-4y1y2】 @
于是联立my=（x+1)和x²/3+y²/2=1消去x,化简就得
(2m²+3)y²-4my-4=0
根据韦达定理
就有
y1+y2=4m/(2m²+3）
y1y2=-4/(2m²+3）
都代进去@就得
S△F2PQ=√【（y1+y2）²-4y1y2】
=√【16m²/(2m²+3）²+16/(2m²+3）】
=4/√(2m²+3)
也就是对于0≤m≤√3求4/√(2m²+3)的范围
显然S=4/√(2m²+3)是递减函数
于是当m=0,S 最大=4/√3
当m=√3,S 最小=4/√(6+3)=4/3
也就是4/√3≤4/√(2m²+3)≤4/√3
即4/√3≤S≤4/√3
于是△F2PQ面积的取值范围是
【4/√3,4/√3】
不想算了。。
这种题目不给200分人家总不会答。