试讨论函数f(x)=x/(x^2+1)的单调性
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 03:10:03
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试讨论函数f(x)=x/(x^2+1)的单调性
试讨论函数f(x)=x/(x^2+1)的单调性
试讨论函数f(x)=x/(x^2+1)的单调性
f‘(X)=f'(x)={f'(x1)f(x2)-f(x1)f'(x2)}/{f(x2)}² =(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(-x²+1)/(x²+1)²
分母(x²+1)² >0 -x²+1在x∈(-1,1) >0 在x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) <0
f'(x)在x∈(-1,1) >0 在x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) <0
f(x)在x∈(-1,1) 单调递增 在x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)单调递减
显然x^2+1≠0
当x=0,f(x)=0,一个点一般不讨论单调性的意义。
当x≠0,f(x)=1/(x+1/x)
由双勾函数的性质知:x∈(-无穷,-1】,【1,﹢无穷)递减
x∈【-1,0),(0,1】递增
又当x=0,f(x)=0,一个点一般不讨论单调性的意义。
所以x∈【-1,1】递增...
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显然x^2+1≠0
当x=0,f(x)=0,一个点一般不讨论单调性的意义。
当x≠0,f(x)=1/(x+1/x)
由双勾函数的性质知:x∈(-无穷,-1】,【1,﹢无穷)递减
x∈【-1,0),(0,1】递增
又当x=0,f(x)=0,一个点一般不讨论单调性的意义。
所以x∈【-1,1】递增
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f(x)=x/(x^2+1)
f'(x)=[1*(x^2+1)-x*2x]/(x^2+1)^2
=(1-x^2)/(x^2+1)^2
当1-x^2≥0时,f'(x)≥0
∴f(x)在[-1,1]上单调递增
当1-x^2≤0时,f'(x)≤0
∴f(x)在(-∞,-1]∪[1,+∞)上单调递增
定义域为R
假设x1>x2
则,f(x1)-f(x2)=[x1/(x1^2+1)]-[x2/(x2^2+1)]
=[x1*(x2^2+1)-x2*(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(x1*x2^2-x2*x1^2)+(x1-x2)]/[(x1^2+1)(x2^1+1)]
=[-x1x2*(x1-x2)+(x1-x2)]/[(x1^...
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定义域为R
假设x1>x2
则,f(x1)-f(x2)=[x1/(x1^2+1)]-[x2/(x2^2+1)]
=[x1*(x2^2+1)-x2*(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(x1*x2^2-x2*x1^2)+(x1-x2)]/[(x1^2+1)(x2^1+1)]
=[-x1x2*(x1-x2)+(x1-x2)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(x1-x2)*(1-x1x2)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
上式中,x1-x2>0,(x1^2+1)(x2^2+1)>0
所以取决于1-x1x2的符号
①当x1>x2>1,或者x2<x1<-1时,1-x1x2<0,f(x1)<f(x2),f(x)递减;
②当-1<x2<x1<1时,1-x1x2>0,f(x1)>f(x2),f(x)递增。
即,在x<-1,或者x>1时,f(x)单调递减;在[-1,1]时,f(x)单调递增。
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这种题目我们常常讨论一下,然后变形。
当x=0时,f(0)=0.
当x>0时,分子分母同除以x,得到f(x)=1/{x+(1/x)}.
对于g(x)=x+(1/x)来说,当且仅当x=1时,g(x) 出现最小值2。所以在区间(0, 1)上g(x)是减函数;在区间x>1上g(x)是增函数。(其实g(x)是对称轴从x轴逆时针旋转了70多度的双曲线)。
于是,函数f(x),...
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这种题目我们常常讨论一下,然后变形。
当x=0时,f(0)=0.
当x>0时,分子分母同除以x,得到f(x)=1/{x+(1/x)}.
对于g(x)=x+(1/x)来说,当且仅当x=1时,g(x) 出现最小值2。所以在区间(0, 1)上g(x)是减函数;在区间x>1上g(x)是增函数。(其实g(x)是对称轴从x轴逆时针旋转了70多度的双曲线)。
于是,函数f(x),就有最大值1/2,增减性就好说了。
对于x<0时的情况,可以借助上面的方法来回答。
你看如何?
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