化下列二次积分为极坐标形式的二次积分(4)∫(下0上1)dx∫(下0上x^2)f(x,y)dy求助
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 19:55:18
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化下列二次积分为极坐标形式的二次积分(4)∫(下0上1)dx∫(下0上x^2)f(x,y)dy求助
令x = rcosθ,y = rsinθ
x = 0,x = 1,y = 0,y = x²
交点是(0,0),(1,1)
θ = 0 到 θ = arctan(1/1) = π/4
rsinθ = r²cos²θ
r = sinθ/cos²θ = secθtanθ
所以
∫(0~1)∫(0~x²) ƒ(x,y) dydx
= ∫(0~π/4)∫(0~secθtanθ) ƒ(rcosθ,rsinθ) rdrdθ
{0<=y<=x²
{0<=x<=1
等价于
{√y<=x<=1
{0<=y<=1
所以
原式=∫(下0上1)dy∫(下√y上1)f(x,y)dx
y=x^2,即:tsina=t^2(cosa)^2,t=sina/(cosa)^2
x=1,即:tcosa=1.t=1/cosa
y=x^2与x=1的交点为(1,1)
∫(0,1)dx∫(0,x^2)f(x,y)dy
=∫(0,π/4)da ∫(sina/(cosa)^2,1/cosa)tf(tcosa,tsina)dt