将f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)]展开成x的幂级数f′(x)=1/(1+x^2)=∑(n=0到∞) (-1)^n·x^(2n) x∈(-1,1) 看成等比数列求和,为什么要乘以(-1)^n,不太明白

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 03:16:22
将f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)]展开成x的幂级数f′(x)=1/(1+x^2)=∑(n=0到∞) (-1)^n·x^(2n)     x∈(-1,1)      看成等比数列求和,为什么要乘以(-1)^n,不太明白
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将f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)]展开成x的幂级数f′(x)=1/(1+x^2)=∑(n=0到∞) (-1)^n·x^(2n) x∈(-1,1) 看成等比数列求和,为什么要乘以(-1)^n,不太明白
将f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)]展开成x的幂级数
f′(x)=1/(1+x^2)=∑(n=0到∞) (-1)^n·x^(2n) x∈(-1,1)
看成等比数列求和,为什么要乘以(-1)^n,不太明白

将f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)]展开成x的幂级数f′(x)=1/(1+x^2)=∑(n=0到∞) (-1)^n·x^(2n) x∈(-1,1) 看成等比数列求和,为什么要乘以(-1)^n,不太明白
这是因为等比数列的公比不同
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ...+ x^n + ...
1/(1+x) = 1 - x + x^2 + ...+ (-1)^n * x^n
把第二式x换成x^2就可以了

不乘以(-1)^n,
∑(n=0到∞) x^(2n) =1/(1- x^2) x∈(-1,1),
注意级数收敛到1/(1 - x^2) 而不是1/(1 + x^2) ,能看清楚吗,一个正,一个负