已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(1)求m与n的关系式(2)求f(x)单调区间(3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/09 15:40:10
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已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(1)求m与n的关系式(2)求f(x)单调区间(3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.
(1)求m与n的关系式
(2)求f(x)单调区间
(3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(1)求m与n的关系式(2)求f(x)单调区间(3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
(1)f'=3mx^2-6(m+1)x+n f''=6mx-6(m+1)
f'(1)=3m-6(m+1)+n=-3m-6+n=0 n=6+3m
(2)f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6=3(x-1)[mx-(m+2)]
极值点x(a)=1 x(b)=(m+2)/m=1+2/m
因为m<0 x(b)
(Ⅰ)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.
因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.
所以n=3m+6.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+2 m )]
当m<0时,有1>1+2 m ,当m<0时,f(x)在(-∞,1+2 m )单调递减,在(1+2 m ,1)...
全部展开
(Ⅰ)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.
因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.
所以n=3m+6.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+2 m )]
当m<0时,有1>1+2 m ,当m<0时,f(x)在(-∞,1+2 m )单调递减,在(1+2 m ,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.
(Ⅲ)由已知,得f′(x)>3m,即3m(x-1)[x-(1+2 m )]>3m,
∵m<0.∴(x-1)[x-1(1+2 m )]<1.(*)
10x=1时.(*)式化为0<1怛成立.
∴m<0.
20x≠1时∵x∈[-1,1],∴-2≤x-1<0.
(*)式化为2 m <(x-1)-1 x-1 .
令t=x-1,则t∈[-2,0),记g(t)=t-1 t ,
则g(t)在区间[-2,0)是单调增函数.∴g(t)min=g(-2)=-2-1 -2 =-3 2 .
由(*)式恒成立,必有2 m <-3 2 ⇒-4 3 <m,又m<0.∴-4 3 <m<0.
综上10、20知-4 3 <m<0.
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