利用极坐标计算下列二重积分(3) ∫∫(D为积分区域) √x^2+y^2 d〥,其中积分区域D={(x,y)| x^2+y^2≤2y,x≥0};拜托只要把开头的步骤写明白就可以了
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 12:33:31
![利用极坐标计算下列二重积分(3) ∫∫(D为积分区域) √x^2+y^2 d〥,其中积分区域D={(x,y)| x^2+y^2≤2y,x≥0};拜托只要把开头的步骤写明白就可以了](/uploads/image/z/161873-17-3.jpg?t=%E5%88%A9%E7%94%A8%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%8B%E5%88%97%E4%BA%8C%E9%87%8D%E7%A7%AF%E5%88%86%283%29+%E2%88%AB%E2%88%AB%EF%BC%88D%E4%B8%BA%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%8C%BA%E5%9F%9F%EF%BC%89+%E2%88%9Ax%5E2%2By%5E2+d%E3%80%A5%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%8C%BA%E5%9F%9FD%3D%7B%28x%2Cy%29%7C+x%5E2%2By%5E2%E2%89%A42y%2Cx%E2%89%A50%7D%3B%E6%8B%9C%E6%89%98%E5%8F%AA%E8%A6%81%E6%8A%8A%E5%BC%80%E5%A4%B4%E7%9A%84%E6%AD%A5%E9%AA%A4%E5%86%99%E6%98%8E%E7%99%BD%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%BA%86)
利用极坐标计算下列二重积分(3) ∫∫(D为积分区域) √x^2+y^2 d〥,其中积分区域D={(x,y)| x^2+y^2≤2y,x≥0};拜托只要把开头的步骤写明白就可以了
利用极坐标计算下列二重积分
(3) ∫∫(D为积分区域) √x^2+y^2 d〥,其中积分区域D={(x,y)| x^2+y^2≤2y,x≥0};
拜托只要把开头的步骤写明白就可以了
利用极坐标计算下列二重积分(3) ∫∫(D为积分区域) √x^2+y^2 d〥,其中积分区域D={(x,y)| x^2+y^2≤2y,x≥0};拜托只要把开头的步骤写明白就可以了
用圆坐标变换,
设x=rcosθ,y=rsinθ
则r^2≤2rsinθ,r≤sinθ
代入积分算得
I=
∫(0~2π)dθ∫(0~sinθ)r^2dr
再计算即可.
√x^2什么意思?
是不是x的平方加上y的平方再开根号?
x=ρcosα,y=ρsinα
d〥=dxdy=ρdρdα
因为x>=0所以α取值为[0,π/2]
p=2sinα(这个只要一画图就明白了)
所以∫∫(D为积分区域) √x^2+y^2 d〥就等于
∫[0,π/2]d∫α[0,2sinα] (√ρ^2)*ρdρ
明白了吗?...
全部展开
√x^2什么意思?
是不是x的平方加上y的平方再开根号?
x=ρcosα,y=ρsinα
d〥=dxdy=ρdρdα
因为x>=0所以α取值为[0,π/2]
p=2sinα(这个只要一画图就明白了)
所以∫∫(D为积分区域) √x^2+y^2 d〥就等于
∫[0,π/2]d∫α[0,2sinα] (√ρ^2)*ρdρ
明白了吗?
收起
x=rcosa,y=rsina,下面只需求出角度a和半径r的范围,根据积分区域D,把x,y带入那个不等式,得到:r*r≤2*rsina,两边约去r,得到r≤2sina,注意到x大于0这个条件,它约束了角度a的范围,所以新的积分区域:-PI/2≤a≤PI/2,0≤r≤2sina,这样就能把原来的二重积分化为累次积分
原积分=∫da∫rdr,先计算∫rdr,下限为0,上限2sina,得2sin...
全部展开
x=rcosa,y=rsina,下面只需求出角度a和半径r的范围,根据积分区域D,把x,y带入那个不等式,得到:r*r≤2*rsina,两边约去r,得到r≤2sina,注意到x大于0这个条件,它约束了角度a的范围,所以新的积分区域:-PI/2≤a≤PI/2,0≤r≤2sina,这样就能把原来的二重积分化为累次积分
原积分=∫da∫rdr,先计算∫rdr,下限为0,上限2sina,得2sina的平方,然后计算∫2sin^2ada,下限是-PI/2,上限是PI/2
收起