已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C1、求证:O2C⊥O1O2;2、证明:AB*BC=2O2B*BO1;3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 01:34:53
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已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C1、求证:O2C⊥O1O2;2、证明:AB*BC=2O2B*BO1;3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C
1、求证:O2C⊥O1O2;
2、证明:AB*BC=2O2B*BO1;
3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C1、求证:O2C⊥O1O2;2、证明:AB*BC=2O2B*BO1;3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
△∵∴⊥∥∠⊙≌∽°
辅助线:延长BO1交O1于点D;
(1)O2C⊥O1O2;
∵BD是直径
∴∠BAD=90°
∵AO1是圆O2的切线
∴O2A⊥O1A
∴∠O2AB=∠ADB(弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角)
∵O2A=O2C=半径
∴∠O2AB=∠O2CB
∴∠O2CB=∠ADB
再加上一组对顶角相等;
∴△CBO2∽△DBA
∴CO2B=90,O2C⊥O1O2;
(2)AB*BC=O2B*BD
我们上面已经证明了△CBO2∽△DBA,根据对应边成比例则有:
BC/O2B=DB/AB
而DB=2BO1(直径与半径的关系)将其代入上式,并十字相乘变形,即可得出结论.
(3)如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
根据圆割线定理,在上图中有如下关系:
O2B*O2D=O2A*O2A
O2D=O2B+BD代入上式后:
O2B*(O2B+BD)=O2A*O2A,
变形打开括号后:O2B*O2B+O2B*BD=O2A*O2A,
上列式子中,已知O2A=O2C=4;O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12;仅有O2B是未知,代入即可求得O2B
O2B*O2B+12=16
解得O2B=2
将O2B=2再代入O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12中,得出BD=6,则O1A=3