作业帮已知函数f（x）=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f（an）,n∈N*（1）若a1=0,求a2,a3,a4；（2）若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 08:11:43
已知函数f（x）=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f（an）,n∈N*（1）若a1=0,求a2,a3,a4；（2）若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,
已知函数f（x）=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f（an）,n∈N*
（1）若a1=0,求a2,a3,a4；
（2）若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值
（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由．
已知函数f（x）=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f（an）,n∈N*（1）若a1=0,求a2,a3,a4；（2）若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,
（1）由题意,代入计算得a2=2,a3=0,a4=2；
（2）a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|,
①当0＜a1≤2时,a3=2-（2-a1）=a1,
所以a12＝(2−a1)2,得a1=1；
②当a1＞2时,a3=2-（a1-2）=4-a1,
所以a1(4−a1)＝(2−a1)2,得a1＝2−根号2 （舍去）或a1＝2+根号2
综合①②得a1=1或a1＝2+根号2
（3）假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,
a3=2-|2-|a1||,由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|（*）,
以下分情况讨论：
①当a1＞2时,由（*）得a1=0,与a1＞2矛盾；
②当0＜a1≤2时,由（*）得a1=1,从而an=1（n=1,2,…）,
所以{an}是一个等差数列；
③当a1≤0时,则公差d=a2-a1=（a1+2）-a1=2＞0,
因此存在m≥2使得am=a1+2（m-1）＞2,
此时d=am+1-am=2-|am|-am＜0,矛盾．
综合①②③可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,…,an,…成等差数列．