已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b)求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 12:18:55
![已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b)求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证](/uploads/image/z/2700385-25-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%E6%98%AF%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%95%B0%2CA%E6%98%AFa%2Cb%E7%9A%84%E7%AD%89%E5%B7%AE%E4%B8%AD%E9%A1%B9%2CG%E6%98%AFa%2Cb%E7%9A%84%E6%AD%A3%E7%9A%84%E7%AD%89%E6%AF%94%E4%B8%AD%E9%A1%B9%2CP%3D2%2F%281%2Fa%2B1%2Fb%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81A%E2%89%A5G%E2%89%A5P.A%3Da%2Bb%2F2+G%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B7ab+%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F+A%E2%89%A5G+%E5%90%8E%E9%9D%A2%E7%9A%84G%E2%89%A5P%E6%80%8E%E4%B9%88%E8%AF%81)
已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b)求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b)求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b)求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
a+b=2A
ab=G²
P=2/(1/a+1/b)
P=2/(1/a+1/b)
≤2/2√(1/ab)
=√(ab)
得证
G≥P其实也是基本不等式,
调和平均数Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n)
算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n
平方平均数:Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
证:已知:A=(a+b)/2,G=√ab,P=2/(1/a+1/b)
因为:
(√a-√b)^2≥0
a-2(√a)(√b)+b≥0
a+b≥2√(ab)
(a+b)/2≥√(ab)
即:A≥G
P=2/(1/a+1/b)
P=2ab/(a+b)
P=ab/[(a+b)/2]
P=(G^2)/A
G^2=PA<...
全部展开
证:已知:A=(a+b)/2,G=√ab,P=2/(1/a+1/b)
因为:
(√a-√b)^2≥0
a-2(√a)(√b)+b≥0
a+b≥2√(ab)
(a+b)/2≥√(ab)
即:A≥G
P=2/(1/a+1/b)
P=2ab/(a+b)
P=ab/[(a+b)/2]
P=(G^2)/A
G^2=PA
G^2≥PG(因为A≥G)
G≥P
因此,有:A≥G≥P
证毕。
收起
把P化简,P=2ab/(a+b),由 a+b≥ √ (ab)得1≥2 √ (ab)/(a+b),两边同乘 √ (ab)得 √ (ab)≥2ab/(a+b),即G≥P