如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H求证:AQ=2QH
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 01:17:09
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如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H求证:AQ=2QH
如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H
求证:AQ=2QH
如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H求证:AQ=2QH
证明:
△ABC是正三角形:AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°
△ABM和△BCN中:
AB=BC
BM=CN
∠ABM=∠BCN=60°
所以:△ABM≌△BCN(边角边)
所以:∠BAM=∠CBN=∠ABC-∠ABQ
所以:∠BAM+∠ABQ=∠ABC=60°
根据三角形外角定理有:∠BQM=∠BAM+∠ABQ=60°
所以:∠AQH=∠BQM=60°(对顶角相等)
所以:RT△AHQ中,∠QAH=90°-60°=30°
所以:QH=AQ/2
所以:AQ=2QH
因为△ABC为正三角形
所以AB=BC,∠ABC=∠C=60°
所以AB=BC,∠ABC=∠C,BM=CN
所以△ABM全等于△BCN(SAS)
所以∠CBN=∠BAM
因为∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°
所以∠BAM+∠ABN=60°
因为∠BAM+∠ABN=∠AQH
所以∠AQH=60°
又因为AH⊥BN
所...
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因为△ABC为正三角形
所以AB=BC,∠ABC=∠C=60°
所以AB=BC,∠ABC=∠C,BM=CN
所以△ABM全等于△BCN(SAS)
所以∠CBN=∠BAM
因为∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°
所以∠BAM+∠ABN=60°
因为∠BAM+∠ABN=∠AQH
所以∠AQH=60°
又因为AH⊥BN
所以∠QAH=30°
所以QH=1/2AQ(在直角三角形内,30°角所对的直角边是斜边的一半)
所以AQ=2QH
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